Mathematik

Was ist die Schiefe einer Exponentialverteilung?

Übliche Parameter für die Wahrscheinlichkeitsverteilung sind der Mittelwert und die Standardabweichung. Der Mittelwert gibt eine Messung des Zentrums an und die Standardabweichung gibt an, wie verteilt die Verteilung ist. Zusätzlich zu diesen bekannten Parametern gibt es andere, die auf andere Merkmale als die Ausbreitung oder das Zentrum aufmerksam machen. Eine solche Messung ist die der Schiefe. Die Schiefe gibt die Möglichkeit, der Asymmetrie einer Verteilung einen numerischen Wert zuzuweisen.

Eine wichtige Verteilung, die wir untersuchen werden, ist die Exponentialverteilung. Wir werden sehen, wie man beweisen kann, dass die Schiefe einer Exponentialverteilung 2 ist.

 

Exponentielle Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Wir beginnen mit der Angabe der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für eine Exponentialverteilung. Diese Verteilungen haben jeweils einen Parameter, der sich auf den Parameter aus dem zugehörigen Poisson-Prozess bezieht . Wir bezeichnen diese Verteilung als Exp (A), wobei A der Parameter ist. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für diese Verteilung lautet:

f ( x )=e x / A / A, wobei x nicht negativ ist.

Hier ist e die mathematische Konstante e. die ungefähr 2,718281828 beträgt. Der Mittelwert und die Standardabweichung der Exponentialverteilung Exp (A) beziehen sich beide auf den Parameter A. Tatsächlich sind sowohl der Mittelwert als auch die Standardabweichung gleich A.

 

Definition von Schiefe

Die Schiefe wird durch einen Ausdruck definiert, der sich auf den dritten Moment über den Mittelwert bezieht. Dieser Ausdruck ist der erwartete Wert:

E [(X – μ) 3 / σ 3 ]=(E [X 3 ] – 3 μ E [X 2 ] + 3 μ 2 E [X] – μ 3 ) / σ 3=(E [X 3 ] – 3 μ () σ 2 – μ 3 ) / σ 3 .

Wir ersetzen μ und σ durch A und das Ergebnis ist, dass die Schiefe E [X 3 ] / A 3 – 4 ist.

Alles was bleibt ist, den dritten Moment über den Ursprung zu berechnen . Dazu müssen wir Folgendes integrieren:

0 x 3 f ( x ) d x .

Dieses Integral hat eine Unendlichkeit für eine seiner Grenzen. Somit kann es als ein falsches Integral vom Typ I bewertet werden. Wir müssen auch bestimmen, welche Integrationstechnik verwendet werden soll. Da die zu integrierende Funktion das Produkt einer Polynom- und Exponentialfunktion ist, müssten wir die Integration nach Teilen verwenden. Diese Integrationstechnik wird mehrmals angewendet. Das Endergebnis ist:

E [X 3 ]=6A 3

Wir kombinieren dies dann mit unserer vorherigen Gleichung für die Schiefe. Wir sehen, dass die Schiefe 6 – 4=2 ist.

 

Implikationen

Es ist wichtig zu beachten, dass das Ergebnis unabhängig von der spezifischen Exponentialverteilung ist, mit der wir beginnen. Die Schiefe der Exponentialverteilung hängt nicht vom Wert des Parameters A ab.

Darüber hinaus sehen wir, dass das Ergebnis eine positive Schiefe ist. Dies bedeutet, dass die Verteilung nach rechts verschoben ist. Dies sollte nicht überraschen, wenn wir über die Form des Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion nachdenken. Alle diese Verteilungen haben einen y-Achsenabschnitt als 1 // Theta und einen Schwanz, der ganz rechts im Diagramm verläuft und hohen Werten der Variablen x entspricht .

 

Alternative Berechnung

Natürlich sollten wir auch erwähnen, dass es eine andere Möglichkeit gibt, die Schiefe zu berechnen. Wir können die Momenterzeugungsfunktion für die Exponentialverteilung verwenden. Die erste Ableitung der bei 0 bewerteten Momenterzeugungsfunktion ergibt E [X]. In ähnlicher Weise ergibt die dritte Ableitung der Momenterzeugungsfunktion bei Auswertung bei 0 E (X 3 ].

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