Mathematik

Arbeitsblatt für Chebyshevs Ungleichung

Arbeitsblatt für Chebyshevs Ungleichung

Tschebyscheff-Ungleichung besagt , dass mindestens 1 -1 / K 2 von Daten aus einer Probe innerhalb fallen muss K Standardabweichungen vom Mittelwert. wobei K eine positive ist reelle Zahl größer als eins. Dies bedeutet, dass wir die Form der Verteilung unserer Daten nicht kennen müssen. Mit nur dem Mittelwert und der Standardabweichung können wir die Datenmenge einer bestimmten Anzahl von Standardabweichungen vom Mittelwert bestimmen.

Im Folgenden sind einige Probleme aufgeführt, die beim Üben der Ungleichung zu üben sind.

 

Beispiel 1

Eine Klasse von Zweitklässlern hat eine mittlere Höhe von fünf Fuß mit einer Standardabweichung von einem Zoll. Mindestens wie viel Prozent der Klasse müssen zwischen 4’10 „und 5’2“ liegen?

 

Lösung

Die im obigen Bereich angegebenen Höhen liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen von der mittleren Höhe von fünf Fuß. Chebyshevs Ungleichung besagt, dass mindestens 1 – 1/2 2=3/4=75% der Klasse im angegebenen Höhenbereich liegen.

 

Beispiel 2

Computer eines bestimmten Unternehmens halten durchschnittlich drei Jahre ohne Hardwarefehler mit einer Standardabweichung von zwei Monaten. Mindestens wie viel Prozent der Computer halten zwischen 31 und 41 Monaten?

 

Lösung

Die mittlere Lebensdauer von drei Jahren entspricht 36 Monaten. Die Zeiten von 31 Monaten bis 41 Monaten betragen jeweils 5/2=2,5 Standardabweichungen vom Mittelwert. Nach Chebyshevs Ungleichung halten mindestens 1 – 1 / (2,5) 6 2=84% der Computer zwischen 31 Monaten und 41 Monaten.

 

Beispiel 3

Bakterien in einer Kultur leben durchschnittlich drei Stunden mit einer Standardabweichung von 10 Minuten. Zumindest welcher Anteil der Bakterien lebt zwischen zwei und vier Stunden?

 

Lösung

Zwei und vier Stunden sind jeweils eine Stunde vom Mittelwert entfernt. Eine Stunde entspricht sechs Standardabweichungen. Mindestens 1 – 1/6 2=35/36=97% der Bakterien leben also zwischen zwei und vier Stunden.

 

Beispiel 4

Was ist die kleinste Anzahl von Standardabweichungen vom Mittelwert, den wir gehen müssen, wenn wir sicherstellen möchten, dass wir mindestens 50% der Daten einer Verteilung haben?

 

Lösung

Hier verwenden wir Chebyshevs Ungleichung und arbeiten rückwärts. Wir wollen 50%=0,50=1/2=1 – 1 / K 2 . Das Ziel ist es, Algebra zu verwenden, um nach K zu lösen .

Wir sehen, dass 1/2=1 / K 2 . Kreuz multiplizieren und sehen, dass 2=K 2 . Wir ziehen die Quadratwurzel beider Seiten und da K eine Anzahl von Standardabweichungen ist, ignorieren wir die negative Lösung der Gleichung. Dies zeigt, dass K gleich der Quadratwurzel von zwei ist. Mindestens 50% der Daten liegen also innerhalb von ungefähr 1,4 Standardabweichungen vom Mittelwert.

 

Beispiel # 5

Die Buslinie Nr. 25 dauert durchschnittlich 50 Minuten mit einer Standardabweichung von 2 Minuten. Auf einem Werbeplakat für dieses Bussystem heißt es: „95% der Zeit, in der die Buslinie Nr. 25 von ____ bis _____ Minuten dauert.“ Mit welchen Zahlen würden Sie die Lücken füllen?

 

Lösung

Diese Frage ähnelt der letzten, da wir für K die Anzahl der Standardabweichungen vom Mittelwert lösen müssen . Beginnen Sie mit der Einstellung von 95%=0,95=1 – 1 / K 2 . Dies zeigt, dass 1 – 0,95=1 / K 2 . Vereinfachen Sie, um zu sehen, dass 1 / 0,05=20=K 2 . Also ist K=4,47.

Drücken Sie dies nun in den obigen Begriffen aus. Mindestens 95% aller Fahrten sind 4,47 Standardabweichungen von der mittleren Zeit von 50 Minuten. Multiplizieren Sie 4,47 mit der Standardabweichung von 2, um neun Minuten zu erhalten. In 95% der Fälle dauert die Buslinie 25 zwischen 41 und 59 Minuten.

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