Mathematik

Warum ist Zero Factorial gleich Eins?

Eine Null-Fakultät ist ein mathematischer Ausdruck für die Anzahl der Möglichkeiten, einen Datensatz ohne Werte anzuordnen, der gleich eins ist. Im Allgemeinen ist die Fakultät  einer Zahl eine Kurzform zum Schreiben eines Multiplikationsausdrucks, bei dem die Zahl mit jeder Zahl multipliziert wird, die kleiner als sie, aber größer als Null ist. 4!=24 ist zum Beispiel dasselbe wie das Schreiben von 4 x 3 x 2 x 1=24, aber man verwendet ein Ausrufezeichen rechts von der Fakultätszahl (vier), um dieselbe Gleichung auszudrücken.

Aus diesen Beispielen geht ziemlich klar hervor, wie man die Fakultät einer ganzen Zahl größer oder gleich Eins berechnet , aber warum ist der Wert der Null Null trotz der mathematischen Regel, dass alles, was mit Null multipliziert wird, gleich Null ist?

Die Definition der Fakultät besagt, dass 0!=1. Dies verwirrt normalerweise Menschen, wenn sie diese Gleichung zum ersten Mal sehen, aber wir werden in den folgenden Beispielen sehen, warum dies sinnvoll ist, wenn Sie sich die Definition, Permutationen und Formeln für die Null-Fakultät ansehen.

 

Die Definition eines Nullfaktors

Der erste Grund, warum Null Fakultät gleich Eins ist, ist, dass dies so ist, wie es die Definition vorschreibt, was eine mathematisch korrekte Erklärung ist (wenn auch eine etwas unbefriedigende). Dennoch muss man bedenken, dass die Definition einer Fakultät das Produkt aller ganzen Zahlen ist, deren Wert der ursprünglichen Zahl entspricht oder darunter liegt – mit anderen Worten, eine Fakultät ist die Anzahl der Kombinationen, die mit Zahlen möglich sind, die kleiner oder gleich dieser Zahl sind.

Da Null keine Zahlen weniger als sie hat, aber immer noch an und für sich eine Zahl ist, gibt es nur eine mögliche Kombination, wie dieser Datensatz angeordnet werden kann: Es kann nicht. Dies zählt immer noch als eine Möglichkeit, es anzuordnen. Per Definition ist eine Null-Fakultät gleich Eins, genau wie 1! ist gleich eins, da es nur eine einzige mögliche Anordnung dieses Datensatzes gibt.

Um besser zu verstehen, wie dies mathematisch sinnvoll ist, ist es wichtig zu beachten, dass Fakultäten wie diese verwendet werden, um mögliche Ordnungen von Informationen in einer Sequenz zu bestimmen, die auch als Permutationen bezeichnet werden. Dies kann hilfreich sein, um zu verstehen, dass es keine Werte in gibt Bei einer leeren oder Nullmenge gibt es immer noch eine Möglichkeit, diese Menge anzuordnen.

 

Permutationen und Fakultäten

Eine Permutation ist eine bestimmte, eindeutige Reihenfolge von Elementen in einer Menge. Zum Beispiel gibt es sechs Permutationen der Menge {1, 2, 3}, die drei Elemente enthält, da wir diese Elemente auf die folgenden sechs Arten schreiben können:

  • 1, 2, 3
  • 1, 3, 2
  • 2, 3, 1
  • 2, 1, 3
  • 3, 2, 1
  • 3, 1, 2

Wir könnten diese Tatsache auch durch die Gleichung 3 erklären!=6, was eine faktorielle Darstellung des gesamten Satzes von Permutationen ist. In ähnlicher Weise gibt es 4!=24 Permutationen einer Menge mit vier Elementen und 5!=120 Permutationen einer Menge mit fünf Elementen. Eine alternative Möglichkeit, über die Fakultät nachzudenken, besteht darin, n eine natürliche Zahl zu sein und zu sagen, dass n ! ist die Anzahl der Permutationen für eine Menge mit n Elementen.

Schauen wir uns mit dieser Art des Denkens über die Fakultät noch ein paar Beispiele an. Eine Menge mit zwei Elementen hat zwei Permutationen. {a, b} kann als a, b oder als b, a angeordnet werden. Dies entspricht 2!=2. Eine Menge mit einem Element hat eine einzelne Permutation, da das Element 1 in der Menge {1} nur auf eine Weise bestellt werden kann.

Dies bringt uns auf Null Fakultät. Die Menge mit Nullelementen wird als leere Menge bezeichnet. Um den Wert der Fakultät Null zu ermitteln, fragen wir: „Auf wie viele Arten können wir eine Menge ohne Elemente bestellen?“ Hier müssen wir unser Denken ein wenig ausdehnen. Obwohl es nichts zu bestellen gibt, gibt es einen Weg, dies zu tun. Wir haben also 0!=1.

 

Formeln und andere Validierungen

Ein weiterer Grund für die Definition von 0!=1 hat mit den Formeln zu tun, die wir für Permutationen und Kombinationen verwenden. Dies erklärt nicht, warum Null Fakultät Eins ist, aber es zeigt, warum das Setzen von 0!=1 ist eine gute Idee.

Eine Kombination ist eine Gruppierung von Elementen einer Menge ohne Rücksicht auf die Reihenfolge. Betrachten Sie zum Beispiel die Menge {1, 2, 3}, in der es eine Kombination gibt, die aus allen drei Elementen besteht. Unabhängig davon, wie wir diese Elemente anordnen, erhalten wir dieselbe Kombination.

Wir verwenden die Formel für Kombinationen mit der Kombination von drei Elementen, die jeweils zu drei genommen werden, und sehen, dass 1=C (3, 3)=3! / (3! 0!), Und wenn wir 0 behandeln! als unbekannte Größe und algebraisch zu lösen, sehen wir, dass 3! 0!=3! und so 0!=1.

Es gibt andere Gründe, warum die Definition von 0!=1 ist richtig, aber die oben genannten Gründe sind am einfachsten. Die Grundidee in der Mathematik ist, dass neue Ideen und Definitionen, wenn sie konstruiert werden, mit anderen Mathematiken konsistent bleiben, und genau das, was wir in der Definition der Null-Fakultät sehen, ist gleich Eins.

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