Mathematik

Definition und Verwendung von Union in der Mathematik

Eine Operation, die häufig verwendet wird, um neue Sätze aus alten zu bilden, wird als Union bezeichnet. Im allgemeinen Sprachgebrauch bedeutet das Wort Vereinigung zusammen ein bringen, wie die Gewerkschaften in der organisierten Arbeit oder den Zustand der Union. Adresse , dass der US – Präsident vor einer gemeinsamen Sitzung des Kongresses macht. Im mathematischen Sinne behält die Vereinigung zweier Mengen diese Idee des Zusammenbringens bei. Genauer gesagt ist die Vereinigung zweier Mengen A und B die Menge aller Elemente x, so dass x ein Element der Menge A ist oder x ein Element der Menge B ist . Das Wort, das bedeutet, dass wir eine Vereinigung verwenden, ist das Wort „oder“.

 

Das Wort „Oder“

Wenn wir das Wort „oder“ in täglichen Gesprächen verwenden, stellen wir möglicherweise nicht fest, dass dieses Wort auf zwei verschiedene Arten verwendet wird. Der Weg wird normalerweise aus dem Kontext des Gesprächs abgeleitet. Wenn Sie gefragt würden: „Möchten Sie das Huhn oder das Steak?“ Die übliche Implikation ist, dass Sie vielleicht das eine oder das andere haben, aber nicht beide. Vergleichen Sie dies mit der Frage: „Möchten Sie Butter oder Sauerrahm auf Ihrer Ofenkartoffel?“ Hier wird „oder“ im inklusiven Sinne verwendet, indem Sie nur Butter, nur saure Sahne oder sowohl Butter als auch saure Sahne wählen können.

In der Mathematik wird das Wort „oder“ im inklusiven Sinne verwendet. Die Aussage “ x ist ein Element von A oder ein Element von B “ bedeutet also, dass eines der drei möglich ist:

  • x ist ein Element von nur A und kein Element von B.
  • x ist ein Element von nur B und kein Element von A .
  • x ist ein Element von sowohl A und B . (Wir könnten auch sagen, dass x ein Element des Schnittpunkts von A und B ist

 

Beispiel

Als Beispiel dafür, wie die Vereinigung zweier Mengen eine neue Menge bildet, betrachten wir die Mengen A={1, 2, 3, 4, 5} und B={3, 4, 5, 6, 7, 8}. Um die Vereinigung dieser beiden Mengen zu finden, listen wir einfach jedes Element auf, das wir sehen, und achten darauf, keine Elemente zu duplizieren. Die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 befinden sich entweder in der einen oder in der anderen Menge, daher ist die Vereinigung von A und B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

 

Notation für Union

Neben dem Verständnis der Konzepte für Operationen der Mengenlehre ist es wichtig, Symbole lesen zu können, die zur Bezeichnung dieser Operationen verwendet werden. Das für die Vereinigung der beiden Mengen A und B verwendete Symbol ist durch AB gegeben . Eine Möglichkeit, sich an das Symbol ∪ zu erinnern, das sich auf Vereinigung bezieht, besteht darin, seine Ähnlichkeit mit einem Großbuchstaben U zu bemerken, das für das Wort „Vereinigung“ steht. Seien Sie vorsichtig, da das Symbol für die Vereinigung dem Symbol für die Kreuzung sehr ähnlich ist . Einer wird durch einen vertikalen Flip vom anderen erhalten.

Um diese Notation in Aktion zu sehen, lesen Sie das obige Beispiel. Hier hatten wir die Mengen A={1, 2, 3, 4, 5} und B={3, 4, 5, 6, 7, 8}. Wir würden also die Mengengleichung AB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} schreiben .

 

Vereinigung mit dem leeren Satz

Eine grundlegende Identität, die die Vereinigung betrifft, zeigt uns, was passiert, wenn wir die Vereinigung einer Menge mit der leeren Menge nehmen, die mit # 8709 bezeichnet ist. Die leere Menge ist die Menge ohne Elemente. Das Verbinden mit einem anderen Set hat also keine Auswirkung. Mit anderen Worten, die Vereinigung eines Satzes mit dem leeren Satz gibt uns den ursprünglichen Satz zurück

Diese Identität wird durch die Verwendung unserer Notation noch kompakter. Wir haben die Identität: A ∪ ∅=A .

 

Vereinigung mit dem Universal Set

Was passiert für das andere Extrem, wenn wir die Vereinigung einer Menge mit der universellen Menge untersuchen? Da die universelle Menge jedes Element enthält, können wir dem nichts hinzufügen. Die Vereinigung oder irgendein Satz mit dem universellen Satz ist also der universelle Satz.

Wieder hilft uns unsere Notation, diese Identität in einem kompakteren Format auszudrücken. Für jede Menge A und die Grundmenge U , AU=U .

 

Andere Identitäten, an denen die Union beteiligt ist

Es gibt viel mehr festgelegte Identitäten, die die Verwendung der Gewerkschaftsoperation beinhalten. Natürlich ist es immer gut, mit der Sprache der Mengenlehre zu üben. Einige der wichtigsten sind unten aufgeführt. Für alle Sätze A und B und D haben wir:

  • Reflexive Eigenschaft: AA=A.
  • Kommutative Eigenschaft: AB=BA.
  • Assoziative Eigenschaft: ( AB ) ∪ D=A ∪ ( BD )
  • DeMorgansches Gesetz I: ( AB ) C=A CB C.
  • DeMorgansches Gesetz II: ( AB ) C=A CB C.

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