Mathematik

Mengenlehre und wie sie verwendet wird

Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Konzept in der gesamten Mathematik. Dieser Zweig der Mathematik bildet eine Grundlage für andere Themen.

Intuitiv ist eine Menge eine Sammlung von Objekten, die als Elemente bezeichnet werden. Obwohl dies eine einfache Idee zu sein scheint, hat sie einige weitreichende Konsequenzen.

 

Elemente

Die Elemente eines Sets können wirklich alles sein – Zahlen, Zustände, Autos, Menschen oder sogar andere Sets sind alle Möglichkeiten für Elemente. Fast alles, was zusammen gesammelt werden kann, kann verwendet werden, um ein Set zu bilden, obwohl es einige Dinge gibt, bei denen wir vorsichtig sein müssen.

 

Gleiche Mengen

Elemente eines Satzes befinden sich entweder in einem Satz oder nicht in einem Satz. Wir können eine Menge durch eine definierende Eigenschaft beschreiben oder die Elemente in der Menge auflisten. Die Reihenfolge, in der sie aufgelistet sind, ist nicht wichtig. Die Mengen {1, 2, 3} und {1, 3, 2} sind also gleiche Mengen, da beide dieselben Elemente enthalten.

 

Zwei spezielle Sets

Zwei Sets verdienen besondere Erwähnung. Die erste ist die universelle Menge, die typischerweise mit U bezeichnet wird . Dieses Set enthält alle Elemente, aus denen wir auswählen können. Dieser Satz kann von einer Einstellung zur nächsten unterschiedlich sein. Zum Beispiel kann eine universelle Menge die Menge von reellen Zahlen sein, während für ein anderes Problem die universelle Menge die ganzen Zahlen {0, 1, 2, …} sein kann.

Der andere Satz, der etwas Aufmerksamkeit erfordert, wird als leerer Satz bezeichnet. Die leere Menge ist die eindeutige Menge ist die Menge ohne Elemente. Wir können dies als {} schreiben und diese Menge mit dem Symbol ∅ bezeichnen.

 

Teilmengen und das Power Set

Eine Sammlung einiger Elemente einer Menge A wird als Teilmenge von A bezeichnet . Wir sagen, dass A genau dann eine Teilmenge von B ist, wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist . Wenn es eine endliche Zahl ist n die Elemente in einer Menge, so gibt es insgesamt 2 n Untergruppen von A . Diese Sammlung aller Teilmengen von A ist eine Menge, die als Potenzmenge von A bezeichnet wird .

 

Operationen einstellen

So wie wir Operationen wie Addition ausführen können – an zwei Zahlen, um eine neue Zahl zu erhalten, werden Mengen-Theorie-Operationen verwendet, um eine Menge aus zwei anderen Mengen zu bilden. Es gibt eine Reihe von Operationen, aber fast alle setzen sich aus den folgenden drei Operationen zusammen:

  • Union. Eine Union bedeutet ein Zusammenbringen. Die Vereinigung der Mengen A und B besteht aus den Elementen, die sich entweder in A oder B befinden .
  • Schnittpunkt. Bei einem Schnittpunkt treffen sich zwei Dinge. Der Schnittpunkt der Mengen A und B besteht aus den Elementen, die sowohl in A als auch in B enthalten sind .
  • Komplement. Das Komplement der Menge A besteht aus allen Elementen der universellen Menge, die keine Elemente von A sind .

 

Venn-Diagramme

Ein Werkzeug, das bei der Darstellung der Beziehung zwischen verschiedenen Mengen hilfreich ist, wird als Venn-Diagramm bezeichnet. Ein Rechteck repräsentiert die universelle Menge für unser Problem. Jeder Satz wird mit einem Kreis dargestellt. Wenn sich die Kreise überlappen, zeigt dies den Schnittpunkt unserer beiden Mengen.

 

Anwendungen der Mengenlehre

Die Mengenlehre wird in der gesamten Mathematik verwendet. Es dient als Grundlage für viele Teilbereiche der Mathematik. In den Bereichen der Statistik wird sie besonders wahrscheinlich eingesetzt. Ein Großteil der Wahrscheinlichkeitskonzepte leitet sich aus den Konsequenzen der Mengenlehre ab. In der Tat besteht eine Möglichkeit, die Axiome der Wahrscheinlichkeit anzugeben, in der Mengenlehre.

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