Mathematik

Was ist Kurtosis in der Statistik?

Datenverteilungen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben nicht alle die gleiche Form. Einige sind asymmetrisch und nach links oder rechts geneigt. Andere Verteilungen sind bimodal und haben zwei Peaks. Ein weiteres Merkmal, das bei einer Verteilung berücksichtigt werden muss, ist die Form der Schwänze der Verteilung ganz links und ganz rechts. Die Kurtosis ist das Maß für die Dicke oder Schwere der Schwänze einer Verteilung. Die Kurtosis einer Verteilung gehört zu einer von drei Klassifizierungskategorien:

  • Mesokurtic
  • Leptokurtic
  • Platykurtic

Wir werden jede dieser Klassifikationen der Reihe nach betrachten. Unsere Untersuchung dieser Kategorien wird nicht so genau sein, wie wir es könnten, wenn wir die technisch-mathematische Definition von Kurtosis verwenden würden.

 

Mesokurtic

Die Kurtosis wird typischerweise in Bezug auf die Normalverteilung gemessen . Eine Verteilung, deren Schwänze ungefähr so ​​geformt sind wie jede Normalverteilung, nicht nur die Standardnormalverteilung. wird als mesokurtisch bezeichnet. Die Kurtosis einer mesokurtischen Verteilung ist weder hoch noch niedrig, sondern wird als Basis für die beiden anderen Klassifikationen angesehen.

Neben Normalverteilungen werden Binomialverteilungen, für die p nahe bei 1/2 liegt, als mesokurtisch angesehen.

 

Leptokurtic

Eine leptokurtische Verteilung hat eine Kurtosis, die größer ist als eine mesokurtische Verteilung. Leptokurtische Verteilungen werden manchmal durch dünne und hohe Peaks identifiziert. Die Schwänze dieser Verteilungen rechts und links sind dick und schwer. Leptokurtische Verteilungen werden mit dem Präfix „lepto“ benannt, was „dünn“ bedeutet.

Es gibt viele Beispiele für leptokurtische Verteilungen. Eine der bekanntesten leptokurtischen Verteilungen ist die Student-t-Verteilung .

 

Platykurtic

Die dritte Klassifikation für Kurtosis ist platykurtisch. Platykurtische Verteilungen sind solche, die schlanke Schwänze haben. Oft besitzen sie einen Peak, der niedriger als eine mesokurtische Verteilung ist. Der Name dieser Arten von Verteilungen kommt von der Bedeutung des Präfixes „platy“, was „breit“ bedeutet.

Alle gleichmäßigen Verteilungen sind platykurtisch. Darüber hinaus ist die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung aus einem einzelnen Münzwurf platykurtisch.

 

Berechnung der Kurtosis

Diese Klassifikationen der Kurtosis sind immer noch etwas subjektiv und qualitativ. Während wir möglicherweise sehen können, dass eine Verteilung dickere Schwänze als eine Normalverteilung hat, was ist, wenn wir nicht den Graphen einer Normalverteilung haben, mit dem wir vergleichen können? Was ist, wenn wir sagen wollen, dass eine Verteilung leptokurtischer ist als eine andere?

Um diese Art von Fragen zu beantworten, benötigen wir nicht nur eine qualitative Beschreibung der Kurtosis, sondern ein quantitatives Maß. Die verwendete Formel lautet μ 4 / σ 4, wobei μ 4 Pearsons vierter Moment um den Mittelwert und Sigma die Standardabweichung ist.

 

Überschüssige Kurtosis

Nachdem wir nun die Möglichkeit haben, die Kurtosis zu berechnen, können wir die erhaltenen Werte und nicht die Formen vergleichen. Die Normalverteilung weist eine Kurtosis von drei auf. Dies wird nun unsere Basis für mesokurtische Verteilungen. Eine Verteilung mit einer Kurtosis von mehr als drei ist leptokurtisch und eine Verteilung mit einer Kurtosis von weniger als drei ist platykurtisch.

Da wir eine mesokurtische Verteilung als Basis für unsere anderen Verteilungen behandeln, können wir drei von unserer Standardberechnung für Kurtosis abziehen. Die Formel μ 4 / σ 4 – 3 ist die Formel für überschüssige Kurtosis. Wir könnten dann eine Verteilung anhand ihrer überschüssigen Kurtosis klassifizieren:

  • Mesokurtische Verteilungen haben eine überschüssige Kurtosis von Null.
  • Platykurtische Verteilungen weisen eine negative überschüssige Kurtosis auf.
  • Leptokurtische Verteilungen weisen eine positive überschüssige Kurtosis auf.

 

Ein Hinweis zum Namen

Das Wort „Kurtosis“ erscheint in der ersten oder zweiten Lesung seltsam. Es macht tatsächlich Sinn, aber wir müssen Griechisch können, um dies zu erkennen. Kurtosis leitet sich aus einer Transliteration des griechischen Wortes Kurtos ab. Dieses griechische Wort hat die Bedeutung „gewölbt“ oder „prall“, was es zu einer treffenden Beschreibung des als Kurtosis bekannten Konzepts macht.

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