Mathematik

Was ist eine Stichprobenverteilung?

Statistische Stichproben werden in der Statistik häufig verwendet. In diesem Prozess wollen wir etwas über eine Bevölkerung herausfinden. Da Populationen normalerweise groß sind, bilden wir eine statistische Stichprobe, indem wir eine Teilmenge der Population auswählen, die eine vorgegebene Größe hat. Durch die Untersuchung der Stichprobe können wir Inferenzstatistiken verwenden, um etwas über die Bevölkerung zu bestimmen.

Eine statistische Stichprobe der Größe n umfasst eine einzelne Gruppe von n Personen oder Probanden, die zufällig aus der Population ausgewählt wurden. Eng verwandt mit dem Konzept einer statistischen Stichprobe ist eine Stichprobenverteilung.

 

Ursprung der Stichprobenverteilungen

Eine Stichprobenverteilung tritt auf, wenn wir aus einer bestimmten Population mehr als eine einfache Zufallsstichprobe derselben Größe bilden. Diese Proben gelten als unabhängig voneinander. Befindet sich eine Person in einer Stichprobe, besteht die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass sie sich in der nächsten Stichprobe befindet, die entnommen wird.

Wir berechnen für jede Stichprobe eine bestimmte Statistik. Dies könnte eine Probe sein Mittelwert. eine Stichprobenvarianz oder ein Stichprobenanteil. Da eine Statistik von der Stichprobe abhängt, die wir haben, erzeugt jede Stichprobe normalerweise einen anderen Wert für die interessierende Statistik. Der Bereich der erzeugten Werte gibt uns unsere Stichprobenverteilung.

 

Stichprobenverteilung für Mittel

Als Beispiel betrachten wir die Stichprobenverteilung als Mittelwert. Der Mittelwert einer Population ist ein Parameter, der normalerweise unbekannt ist. Wenn wir eine Stichprobe der Größe 100 auswählen, kann der Mittelwert dieser Stichprobe leicht berechnet werden, indem alle Werte addiert und dann durch die Gesamtzahl der Datenpunkte dividiert werden, in diesem Fall 100. Eine Stichprobe der Größe 100 kann einen Mittelwert ergeben von 50. Eine andere solche Stichprobe kann einen Mittelwert von 49 haben. Eine andere 51 und eine andere Stichprobe könnten einen Mittelwert von 50,5 haben.

Die Verteilung dieser Stichprobenmittel ergibt eine Stichprobenverteilung. Wir möchten mehr als nur vier Stichprobenmittel in Betracht ziehen, wie wir es oben getan haben. Mit mehreren weiteren Stichprobenmitteln hätten wir eine gute Vorstellung von der Form der Stichprobenverteilung.

 

Warum kümmern wir uns?

Stichprobenverteilungen mögen ziemlich abstrakt und theoretisch erscheinen. Es gibt jedoch einige sehr wichtige Konsequenzen, wenn Sie diese verwenden. Einer der Hauptvorteile besteht darin, dass wir die in der Statistik vorhandene Variabilität beseitigen.

Angenommen, wir beginnen mit einer Population mit einem Mittelwert von μ und einer Standardabweichung von σ. Die Standardabweichung gibt uns ein Maß dafür, wie verteilt die Verteilung ist. Wir werden dies mit einer Stichprobenverteilung vergleichen, die durch Bildung einfacher Zufallsstichproben der Größe n erhalten wird . Die Stichprobenverteilung des Mittelwerts hat immer noch einen Mittelwert von μ, aber die Standardabweichung ist unterschiedlich. Die Standardabweichung für eine Stichprobenverteilung wird σ / √ n .

Somit haben wir folgendes

  • Eine Stichprobengröße von 4 ermöglicht eine Stichprobenverteilung mit einer Standardabweichung von σ / 2.
  • Eine Stichprobengröße von 9 ermöglicht eine Stichprobenverteilung mit einer Standardabweichung von σ / 3.
  • Eine Stichprobengröße von 25 ermöglicht eine Stichprobenverteilung mit einer Standardabweichung von σ / 5.
  • Eine Stichprobengröße von 100 ermöglicht eine Stichprobenverteilung mit einer Standardabweichung von σ / 10.

 

In der Praxis

In der Statistik bilden wir selten Stichprobenverteilungen. Stattdessen behandeln wir Statistiken, die aus einer einfachen Zufallsstichprobe der Größe n abgeleitet wurden, so, als wären sie ein Punkt entlang einer entsprechenden Stichprobenverteilung. Dies unterstreicht erneut, warum wir relativ große Stichproben wünschen. Je größer die Stichprobe ist, desto weniger Abweichungen erhalten wir in unserer Statistik.

Beachten Sie, dass wir außer dem Zentrum und der Streuung nichts über die Form unserer Stichprobenverteilung sagen können. Es stellt sich heraus, dass unter einigen ziemlich breiten Bedingungen der zentrale Grenzwertsatz angewendet werden kann, um uns etwas ziemlich Erstaunliches über die Form einer Stichprobenverteilung zu sagen.

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