Mathematik

Was ist ein Histogramm und wie wird es verwendet?

Ein Histogramm ist eine Art Diagramm, das in der Statistik breite Anwendung findet. Histogramme bieten eine visuelle Interpretation numerischer Daten, indem sie die Anzahl der Datenpunkte angeben, die innerhalb eines Wertebereichs liegen. Diese Wertebereiche werden als Klassen oder Bins bezeichnet. Die Häufigkeit der Daten, die in jede Klasse fallen, wird durch die Verwendung eines Balkens dargestellt. Je höher der Balken ist, desto häufiger werden Datenwerte in diesem Bin angezeigt.

 

Histogramme vs. Balkendiagramme

Auf den ersten Blick sehen Histogramme Balkendiagrammen sehr ähnlich . Beide Diagramme verwenden vertikale Balken, um Daten darzustellen. Die Höhe eines Balkens entspricht der relativen Häufigkeit der Datenmenge in der Klasse. Je höher der Balken, desto höher die Häufigkeit der Daten. Je niedriger der Balken, desto niedriger die Datenfrequenz. Aber Blicke können täuschen. Hier enden die Ähnlichkeiten zwischen den beiden Arten von Graphen.

Der Grund, warum diese Arten von Diagrammen unterschiedlich sind, hängt mit dem Grad der Messung der Daten zusammen. Einerseits werden Balkendiagramme für Daten auf der nominalen Messebene verwendet. Balkendiagramme messen die Häufigkeit kategorialer Daten, und die Klassen für ein Balkendiagramm sind diese Kategorien. Andererseits werden Histogramme für Daten verwendet, die mindestens auf der ordinalen Messebene liegen. Die Klassen für ein Histogramm sind Wertebereiche.

Ein weiterer wesentlicher Unterschied zwischen Balkendiagrammen und Histogrammen hängt mit der Reihenfolge der Balken zusammen. In einem Balkendiagramm ist es üblich, die Balken in der Reihenfolge abnehmender Höhe neu anzuordnen. Die Balken in einem Histogramm können jedoch nicht neu angeordnet werden. Sie müssen in der Reihenfolge angezeigt werden, in der die Klassen auftreten.

 

Beispiel eines Histogramms

Das obige Diagramm zeigt uns ein Histogramm. Angenommen, vier Münzen werden geworfen und die Ergebnisse aufgezeichnet. Die Verwendung der entsprechenden Binomialverteilungstabelle oder einfacher Berechnungen mit der Binomialformel zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass keine Köpfe angezeigt werden, 1/16 beträgt, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kopf angezeigt wird, 4/16 beträgt. Die Wahrscheinlichkeit von zwei Köpfen beträgt 6/16. Die Wahrscheinlichkeit von drei Köpfen beträgt 4/16. Die Wahrscheinlichkeit von vier Köpfen beträgt 1/16.

Wir konstruieren insgesamt fünf Klassen mit einer Breite von jeweils einer. Diese Klassen entsprechen der Anzahl der möglichen Köpfe: null, eins, zwei, drei oder vier. Über jeder Klasse zeichnen wir einen vertikalen Balken oder ein Rechteck. Die Höhen dieser Balken entsprechen den Wahrscheinlichkeiten, die für unser Wahrscheinlichkeitsexperiment zum Umwerfen von vier Münzen und Zählen der Köpfe angegeben wurden.

 

Histogramme und Wahrscheinlichkeiten

Das obige Beispiel zeigt nicht nur die Konstruktion eines Histogramms, sondern zeigt auch, dass diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit einem Histogramm dargestellt werden können. In der Tat kann eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung durch ein Histogramm dargestellt werden.

Um ein Histogramm zu erstellen, das eine Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellt, wählen wir zunächst die Klassen aus. Dies sollten die Ergebnisse eines Wahrscheinlichkeitsexperiments sein. Die Breite jeder dieser Klassen sollte eine Einheit betragen. Die Höhen der Balken des Histogramms sind die Wahrscheinlichkeiten für jedes der Ergebnisse. Bei einem so aufgebauten Histogramm sind die Bereiche der Balken ebenfalls Wahrscheinlichkeiten.

Da diese Art von Histogramm Wahrscheinlichkeiten liefert, unterliegt es einigen Bedingungen. Eine Bedingung ist, dass nur nichtnegative Zahlen für die Skala verwendet werden können, die uns die Höhe eines bestimmten Balkens des Histogramms gibt. Eine zweite Bedingung ist, dass, da die Wahrscheinlichkeit gleich der Fläche ist, alle Flächen der Balken insgesamt eins ergeben müssen, was 100% entspricht.

 

Histogramme und andere Anwendungen

Die Balken in einem Histogramm müssen keine Wahrscheinlichkeiten sein. Histogramme sind in anderen Bereichen als der Wahrscheinlichkeit hilfreich. Immer wenn wir die Häufigkeit des Auftretens quantitativer Daten vergleichen möchten, kann ein Histogramm zur Darstellung unseres Datensatzes verwendet werden.

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