Mathematik

Freiheitsgrade in Statistik und Mathematik

In der Statistik werden die Freiheitsgrade verwendet, um die Anzahl unabhängiger Größen zu definieren, die einer statistischen Verteilung zugeordnet werden können. Diese Zahl bezieht sich normalerweise auf eine positive ganze Zahl, die darauf hinweist, dass die Fähigkeit einer Person, fehlende Faktoren aus statistischen Problemen zu berechnen, nicht eingeschränkt ist.

Freiheitsgrade fungieren als Variablen bei der endgültigen Berechnung einer Statistik und werden verwendet, um das Ergebnis verschiedener Szenarien in einem System zu bestimmen. In mathematischen Freiheitsgraden wird die Anzahl der Dimensionen in einer Domäne definiert, die zur Bestimmung des vollständigen Vektors erforderlich ist .

Um das Konzept eines Freiheitsgrades zu veranschaulichen, betrachten wir eine grundlegende Berechnung des Stichprobenmittelwerts. Um den Mittelwert einer Datenliste zu ermitteln, addieren wir alle Daten und dividieren durch die Gesamtzahl der Werte.

 

Eine Illustration mit einem Beispielmittelwert

Nehmen wir für einen Moment an, dass wir wissen, dass der Mittelwert eines Datensatzes 25 ist und dass die Werte in diesem Satz 20, 10, 50 und eine unbekannte Zahl sind. Die Formel für einen Stichprobenmittelwert ergibt die Gleichung (20 + 10 + 50 + x) / 4=25 , wobei x das Unbekannte bezeichnet. Mit Hilfe einer grundlegenden Algebra kann man dann bestimmen, dass die fehlende Zahl  x gleich 20 ist .

Lassen Sie uns dieses Szenario leicht ändern. Wieder nehmen wir an, dass wir wissen, dass der Mittelwert eines Datensatzes 25 ist. Diesmal sind die Werte im Datensatz jedoch 20, 10 und zwei unbekannte Werte. Diese Unbekannten können unterschiedlich sein, daher verwenden wir zwei verschiedene Variablen. x und y,  um dies zu bezeichnen. Die resultierende Gleichung lautet (20 + 10 + x + y) / 4=25 . Mit etwas Algebra erhalten wir y=70- x . Die Formel ist in dieser Form geschrieben, um zu zeigen, dass der Wert für y vollständig bestimmt ist , sobald wir einen Wert für x ausgewählt haben . Wir müssen eine Wahl treffen, und dies zeigt, dass es einen Freiheitsgrad gibt .

Jetzt sehen wir uns eine Stichprobengröße von einhundert an. Wenn wir wissen, dass der Mittelwert dieser Beispieldaten 20 beträgt, aber die Werte der Daten nicht kennen, gibt es 99 Freiheitsgrade. Alle Werte müssen sich zu insgesamt 20 x 100=2000 addieren. Sobald wir die Werte von 99 Elementen im Datensatz haben, wurde der letzte bestimmt.

 

Student T-Score und Chi-Quadrat-Verteilung

Freiheitsgrade spielen eine wichtige Rolle bei der Verwendung der Student- T- Score-Tabelle. Es gibt tatsächlich mehrere T-Score- Verteilungen. Wir unterscheiden zwischen diesen Verteilungen anhand von Freiheitsgraden.

Hier hängt die Wahrscheinlichkeitsverteilung. die wir verwenden, von der Größe unserer Stichprobe ab. Wenn unsere Stichprobengröße n ist , beträgt die Anzahl der Freiheitsgrade n -1. Zum Beispiel würde eine Stichprobengröße von 22 erfordern, dass wir die Zeile der t- Score-Tabelle mit 21 Freiheitsgraden verwenden.

Die Verwendung einer Chi-Quadrat-Verteilung erfordert auch die Verwendung von Freiheitsgraden. Hier bestimmt die Stichprobengröße auf identische Weise wie bei der t-Score-  Verteilung, welche Verteilung verwendet werden soll. Wenn die Stichprobengröße n ist , gibt es n-1 Freiheitsgrade.

 

Standardabweichung und fortgeschrittene Techniken

Ein weiterer Ort, an dem Freiheitsgrade angezeigt werden, ist die Formel für die Standardabweichung. Dieses Ereignis ist nicht so offenkundig, aber wir können es sehen, wenn wir wissen, wo wir suchen müssen. Um eine Standardabweichung zu finden, suchen wir nach der „durchschnittlichen“ Abweichung vom Mittelwert. Nachdem wir jedoch den Mittelwert von jedem Datenwert subtrahiert und die Differenzen quadriert haben, dividieren wir am Ende eher durch n-1 als durch n, wie wir es erwarten könnten.

Das Vorhandensein von n-1 ergibt sich aus der Anzahl der Freiheitsgrade. Da die n Datenwerte und der Stichprobenmittelwert in der Formel verwendet werden, gibt es n-1 Freiheitsgrade.

Fortgeschrittenere statistische Techniken verwenden kompliziertere Methoden zum Zählen der Freiheitsgrade. Bei der Berechnung der Teststatistik für zwei Mittelwerte mit unabhängigen Stichproben von n 1 und n 2 Elementen hat die Anzahl der Freiheitsgrade eine ziemlich komplizierte Formel. Sie kann unter Verwendung des kleineren Wertes von n 1 -1 und n 2 -1 geschätzt werden

Ein weiteres Beispiel für eine andere Art, die Freiheitsgrade zu zählen, ist ein F- Test. Bei der Durchführung eines F- Tests haben wir jeweils k Stichproben der Größe n – die Freiheitsgrade im Zähler betragen k -1 und im Nenner k ( n -1).

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