Mathematik

So finden Sie die inneren und äußeren Zäune

Ein Merkmal eines Datensatzes, dessen Bestimmung wichtig ist, ist, ob er Ausreißer enthält. Ausreißer werden intuitiv als Werte in unserem Datensatz betrachtet, die sich stark von den meisten anderen Daten unterscheiden. Natürlich ist dieses Verständnis von Ausreißern nicht eindeutig. Wie stark sollte der Wert vom Rest der Daten abweichen, um als Ausreißer zu gelten? Wird das, was ein Forscher einen Ausreißer nennt, mit dem eines anderen übereinstimmen? Um eine gewisse Konsistenz und ein quantitatives Maß für die Bestimmung von Ausreißern zu gewährleisten, verwenden wir innere und äußere Zäune.

Um die inneren und äußeren Zäune eines Datensatzes zu finden, benötigen wir zunächst einige andere beschreibende Statistiken. Wir beginnen mit der Berechnung der Quartile. Dies führt zum Interquartilbereich. Schließlich können wir mit diesen Berechnungen die inneren und äußeren Zäune bestimmen.

 

Quartile

Das erste und dritte Quartil sind Teil der Fünf-Zahlen-Zusammenfassung aller quantitativen Daten. Wir beginnen damit, den Median oder den Mittelpunkt der Daten zu ermitteln, nachdem alle Werte in aufsteigender Reihenfolge aufgelistet wurden. Die Werte unter dem Median entsprechen ungefähr der Hälfte der Daten. Wir finden den Median dieser Hälfte des Datensatzes, und dies ist das erste Quartil.

In ähnlicher Weise betrachten wir nun die obere Hälfte des Datensatzes. Wenn wir den Median für diese Hälfte der Daten finden, haben wir das dritte Quartil. Diese Quartile haben ihren Namen von der Tatsache, dass sie den Datensatz in vier gleich große Teile oder Viertel aufteilen. Mit anderen Worten, ungefähr 25% aller Datenwerte sind kleiner als das erste Quartil. In ähnlicher Weise liegen ungefähr 75% der Datenwerte unter dem dritten Quartil.

 

Interquartilbereich

Als nächstes müssen wir den Interquartilbereich (IQR) finden. Dies ist einfacher zu berechnen als das erste Quartil q 1 und das dritte Quartil q 3 . Alles was wir tun müssen, ist den Unterschied dieser beiden Quartile zu nehmen. Dies gibt uns die Formel:

IQR=Q 3Q 1

Der IQR gibt an, wie verteilt die mittlere Hälfte unseres Datensatzes ist.

 

Finde die inneren Zäune

Wir können jetzt die inneren Zäune finden. Wir beginnen mit dem IQR und multiplizieren diese Zahl mit 1,5. Wir subtrahieren diese Zahl dann vom ersten Quartil. Wir addieren diese Zahl auch zum dritten Quartil. Diese beiden Zahlen bilden unseren inneren Zaun.

 

Finde die äußeren Zäune

Für die äußeren Zäune beginnen wir mit dem IQR und multiplizieren diese Zahl mit 3. Wir subtrahieren diese Zahl dann vom ersten Quartil und addieren sie zum dritten Quartil. Diese beiden Zahlen sind unsere äußeren Zäune.

 

Ausreißer erkennen

Das Erkennen von Ausreißern ist jetzt so einfach wie das Bestimmen, wo die Datenwerte in Bezug auf unsere inneren und äußeren Zäune liegen. Wenn ein einzelner Datenwert extremer ist als einer unserer äußeren Zäune, ist dies ein Ausreißer und wird manchmal als starker Ausreißer bezeichnet. Wenn unser Datenwert zwischen einem entsprechenden inneren und äußeren Zaun liegt, ist dieser Wert ein vermuteter Ausreißer oder ein milder Ausreißer. Wir werden anhand des folgenden Beispiels sehen, wie dies funktioniert.

 

Beispiel

Angenommen, wir haben das erste und dritte Quartil unserer Daten berechnet und diese Werte auf 50 bzw. 60 festgelegt. Der Interquartilbereich IQR=60 – 50=10. Als nächstes sehen wir, dass 1,5 x IQR=15. Dies bedeutet, dass die inneren Zäune bei 50 – 15=35 und 60 + 15=75 liegen. Dies ist 1,5 x IQR weniger als der erstes Quartil und mehr als das dritte Quartil.

Wir berechnen nun 3 x IQR und sehen, dass dies 3 x 10=30 ist. Die äußeren Zäune sind 3 x IQR extremer als das erste und dritte Quartil. Dies bedeutet, dass die äußeren Zäune 50 – 30=20 und 60 + 30=90 sind.

Alle Datenwerte, die kleiner als 20 oder größer als 90 sind, werden als Ausreißer betrachtet. Alle Datenwerte zwischen 29 und 35 oder zwischen 75 und 90 sind vermutete Ausreißer.

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