Mathematik

Berechnung der Varianz und Standardabweichung

Varianz und Standardabweichung sind zwei eng verwandte Variationsmaße, über die Sie in Studien, Zeitschriften oder Statistikklassen häufig erfahren. Sie sind zwei grundlegende und grundlegende Konzepte in der Statistik, die verstanden werden müssen, um die meisten anderen statistischen Konzepte oder Verfahren zu verstehen. Im Folgenden werden wir überprüfen, was sie sind und wie die Varianz und Standardabweichung ermittelt werden.

Wichtige Erkenntnisse: Varianz und Standardabweichung

  • Die Varianz und Standardabweichung zeigen uns, wie stark die Punktzahlen in einer Verteilung vom Durchschnitt abweichen.
  • Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz.
  • Für kleine Datensätze kann die Varianz von Hand berechnet werden, für größere Datensätze können jedoch statistische Programme verwendet werden.

 

Definition

Per Definition sind Varianz und Standardabweichung beide Variationsmaße für Intervallverhältnisvariablen. Sie beschreiben, wie viel Variation oder Vielfalt in einer Verteilung vorhanden ist. Sowohl die Varianz als auch die Standardabweichung nehmen zu oder ab, je nachdem, wie eng sich die Werte um den Mittelwert gruppieren.

Die Varianz ist definiert als der Durchschnitt der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert. Um die Varianz zu berechnen, subtrahieren Sie zuerst den Mittelwert von jeder Zahl und quadrieren dann die Ergebnisse, um die quadratischen Differenzen zu ermitteln. Sie finden dann den Durchschnitt dieser quadratischen Differenzen. Das Ergebnis ist die Varianz.

Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie verteilt die Zahlen in einer Verteilung sind. Es gibt an, um wie viel jeder der Werte in der Verteilung im Durchschnitt vom Mittelwert oder Zentrum der Verteilung abweicht. Sie wird berechnet, indem die Quadratwurzel der Varianz gezogen wird.

 

Ein konzeptionelles Beispiel

Die Varianz und die Standardabweichung sind wichtig, da sie uns Dinge über den Datensatz erzählen, die wir nicht nur durch Betrachten des Mittelwerts oder Durchschnitts lernen können . Stellen Sie sich als Beispiel vor, Sie haben drei jüngere Geschwister: ein Geschwister mit 13 Jahren und Zwillinge mit 10 Jahren. In diesem Fall wäre das Durchschnittsalter Ihrer Geschwister 11. Stellen Sie sich nun vor, Sie haben drei Geschwister im Alter von 17, 12 Jahren und 4. In diesem Fall wäre das Durchschnittsalter Ihrer Geschwister immer noch 11 Jahre, aber die Varianz und Standardabweichung wären größer.

 

Ein quantitatives Beispiel

Angenommen, wir möchten die Varianz und Standardabweichung des Alters in Ihrer Gruppe von 5 engen Freunden ermitteln. Sie und Ihre Freunde sind 25, 26, 27, 30 und 32 Jahre alt.

Zuerst müssen wir das Durchschnittsalter ermitteln: (25 + 26 + 27 + 30 + 32) / 5=28.

Dann müssen wir die Unterschiede vom Mittelwert für jeden der 5 Freunde berechnen.

25 – 28=-3
26 – 28=-2
27 – 28=-1
30 – 28=2
32 – 28=4

Als nächstes nehmen wir zur Berechnung der Varianz jede Differenz vom Mittelwert, quadrieren sie und mitteln dann das Ergebnis.

Varianz=((-3) 2 + (-2) 2 + (-1) 2 + 2 2 + 4 2 ) / 5

=(9 + 4 + 1 + 4 + 16) / 5=6,8

Die Varianz beträgt also 6,8. Und die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz, die 2,61 beträgt. Dies bedeutet, dass Sie und Ihre Freunde im Durchschnitt 2,61 Jahre alt sind.

Obwohl es möglich ist, die Varianz für kleinere Datensätze wie diesen von Hand zu berechnen, können statistische Softwareprogramme auch zur Berechnung der Varianz und der Standardabweichung verwendet werden.

 

Stichprobe versus Bevölkerung

Bei der Durchführung statistischer Tests ist es wichtig, den Unterschied zwischen einer Population und einer Stichprobe zu berücksichtigen . Um die Standardabweichung (oder Varianz) einer Population zu berechnen, müssten Sie Messungen für alle Mitglieder der Gruppe erfassen, die Sie untersuchen. Für eine Stichprobe würden Sie nur Messungen aus einer Teilmenge der Population erfassen.

Im obigen Beispiel haben wir angenommen, dass die Gruppe von fünf Freunden eine Bevölkerung ist; Wenn wir es stattdessen als Stichprobe behandelt hätten, wäre die Berechnung der Standardabweichung der Stichprobe und der Stichprobenvarianz geringfügig unterschiedlich (anstatt durch die Stichprobengröße zu dividieren, um die Varianz zu ermitteln, hätten wir zuerst eine von der Stichprobengröße subtrahiert und dann durch diese dividiert kleinere Anzahl).

 

Bedeutung der Varianz und Standardabweichung

Die Varianz und Standardabweichung sind in der Statistik wichtig, da sie als Grundlage für andere Arten statistischer Berechnungen dienen. Beispielsweise ist die Standardabweichung erforderlich, um Testergebnisse in Z-Ergebnisse umzuwandeln . Die Varianz und Standardabweichung spielen auch eine wichtige Rolle bei der Durchführung statistischer Tests wie T-Tests .

 

Verweise

Frankfort-Nachmias, C. & Leon-Guerrero, A. (2006). Sozialstatistik für eine vielfältige Gesellschaft . Thousand Oaks, Kalifornien: Pine Forge Press.

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