Mathematik

Wie und wann eine gleichmäßige Verteilung verwendet wird

Es gibt verschiedene Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Jede dieser Distributionen hat eine bestimmte Anwendung und Verwendung, die für eine bestimmte Einstellung geeignet ist. Diese Verteilungen reichen von der bekannten Glockenkurve (auch als Normalverteilung bezeichnet) bis zu weniger bekannten Verteilungen wie der Gammaverteilung. Die meisten Verteilungen beinhalten eine komplizierte Dichtekurve, einige jedoch nicht. Eine der einfachsten Dichtekurven ist für eine gleichmäßige Wahrscheinlichkeitsverteilung.

 

Merkmale der Gleichverteilung

Die gleichmäßige Verteilung hat ihren Namen von der Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse gleich sind. Im Gegensatz zu einer Normalverteilung mit einem Buckel in der Mitte oder einer Chi-Quadrat-Verteilung hat eine Gleichverteilung keinen Modus. Stattdessen ist es gleich wahrscheinlich, dass jedes Ergebnis eintritt. Im Gegensatz zu einer Chi-Quadrat-Verteilung gibt es keine Schiefe zu einer gleichmäßigen Verteilung. Infolgedessen stimmen Mittelwert und Median überein.

Da jedes Ergebnis einer gleichmäßigen Verteilung mit derselben relativen Häufigkeit auftritt, ist die resultierende Form der Verteilung die eines Rechtecks.

 

Gleichmäßige Verteilung für diskrete Zufallsvariablen

In jeder Situation, in der jedes Ergebnis in einem Probenraum gleich wahrscheinlich ist, wird eine gleichmäßige Verteilung verwendet. Ein Beispiel hierfür ist in einem diskreten Fall das Walzen eines einzelnen Standardwerkzeugs. Es gibt insgesamt sechs Seiten des Würfels, und jede Seite hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, mit der Vorderseite nach oben gerollt zu werden. Das Wahrscheinlichkeitshistogramm für diese Verteilung ist rechteckig geformt, mit sechs Stangen , die jeweils eine Höhe von 1/6 haben.

 

Gleichmäßige Verteilung für kontinuierliche Zufallsvariablen

Betrachten Sie als Beispiel für eine gleichmäßige Verteilung in einer kontinuierlichen Einstellung einen idealisierten Zufallszahlengenerator. Dadurch wird aus einem bestimmten Wertebereich eine Zufallszahl generiert . Wenn also angegeben wird, dass der Generator eine Zufallszahl zwischen 1 und 4 erzeugen soll, sind 3,25, 3, e , 2,222222, 3,4545456 und pi alle möglichen Zahlen, die mit gleicher Wahrscheinlichkeit erzeugt werden.

Da die von einer Dichtekurve eingeschlossene Gesamtfläche 1 sein muss, was 100 Prozent entspricht, ist es einfach, die Dichtekurve für unseren Zufallszahlengenerator zu bestimmen. Wenn die Zahl im Bereich von a bis b liegt , entspricht dies einem Intervall der Länge ba . Um eine Fläche von eins zu haben, müsste die Höhe 1 / ( ba ) betragen .

Beispielsweise würde für eine Zufallszahl, die von 1 bis 4 erzeugt wird, die Höhe der Dichtekurve 1/3 betragen.

 

Wahrscheinlichkeiten mit einer einheitlichen Dichtekurve

Es ist wichtig zu bedenken, dass die Höhe einer Kurve nicht direkt die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses angibt. Vielmehr werden wie bei jeder Dichtekurve die Wahrscheinlichkeiten durch die Bereiche unter der Kurve bestimmt.

Da eine gleichmäßige Verteilung wie ein Rechteck geformt ist, sind die Wahrscheinlichkeiten sehr einfach zu bestimmen. Verwenden Sie einfach eine grundlegende Geometrie, anstatt den Bereich unter einer Kurve mit einem Kalkül zu ermitteln. Denken Sie daran, dass die Fläche eines Rechtecks ​​seine Basis multipliziert mit seiner Höhe ist.

Kehren Sie zum gleichen Beispiel von früher zurück. In diesem Beispiel ist X eine Zufallszahl, die zwischen den Werten 1 und 4 generiert wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen 1 und 3 liegt, beträgt 2/3, da dies die Fläche unter der Kurve zwischen 1 und 3 darstellt.

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