Mathematik

Äquivalente Gleichungen in der Algebra verstehen

Äquivalente Gleichungen sind Gleichungssysteme mit denselben Lösungen. Das Identifizieren und Lösen äquivalenter Gleichungen ist nicht nur im Algebraunterricht, sondern auch im Alltag eine wertvolle Fähigkeit . Schauen Sie sich Beispiele für äquivalente Gleichungen an, wie Sie sie für eine oder mehrere Variablen lösen und wie Sie diese Fähigkeit außerhalb eines Klassenzimmers einsetzen können.

Die zentralen Thesen

  • Äquivalente Gleichungen sind algebraische Gleichungen mit identischen Lösungen oder Wurzeln.
  • Das Addieren oder Subtrahieren derselben Zahl oder desselben Ausdrucks zu beiden Seiten einer Gleichung ergibt eine äquivalente Gleichung.
  • Das Multiplizieren oder Teilen beider Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null ergibt eine äquivalente Gleichung.

 

Lineare Gleichungen mit einer Variablen

Die einfachsten Beispiele für äquivalente Gleichungen haben keine Variablen. Zum Beispiel sind diese drei Gleichungen einander äquivalent:

  • 3 + 2=5
  • 4 + 1=5
  • 5 + 0=5

Das Erkennen, dass diese Gleichungen äquivalent sind, ist großartig, aber nicht besonders nützlich. Normalerweise werden Sie bei einem äquivalenten Gleichungsproblem aufgefordert, nach einer Variablen zu suchen, um festzustellen, ob sie dieselbe (dieselbe Wurzel ) wie die in einer anderen Gleichung ist.

Zum Beispiel sind die folgenden Gleichungen äquivalent:

  • x=5
  • -2x=-10

In beiden Fällen ist x=5. Woher wissen wir das? Wie löst man das für die Gleichung „-2x=-10“? Der erste Schritt besteht darin, die Regeln äquivalenter Gleichungen zu kennen:

  • Das Addieren oder Subtrahieren derselben Zahl oder desselben Ausdrucks zu beiden Seiten einer Gleichung ergibt eine äquivalente Gleichung.
  • Das Multiplizieren oder Teilen beider Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null ergibt eine äquivalente Gleichung.
  • Wenn Sie beide Seiten der Gleichung auf dieselbe ungerade Potenz bringen oder dieselbe ungerade Wurzel ziehen, erhalten Sie eine äquivalente Gleichung.
  • Wenn beide Seiten einer Gleichung nicht negativ sind. ergibt sich eine äquivalente Gleichung, wenn beide Seiten einer Gleichung auf dieselbe gerade Potenz angehoben oder dieselbe gerade Wurzel gezogen werden.

 

Beispiel

Stellen Sie anhand dieser Regeln fest, ob diese beiden Gleichungen gleichwertig sind:

  • x + 2=7
  • 2x + 1=11

Um dies zu lösen, müssen Sie für jede Gleichung „x“ finden. Wenn „x“ für beide Gleichungen gleich ist, sind sie äquivalent. Wenn „x“ unterschiedlich ist (dh die Gleichungen haben unterschiedliche Wurzeln), sind die Gleichungen nicht äquivalent. Für die erste Gleichung:

  • x + 2=7
  • x + 2 – 2=7 – 2 (Subtrahieren beider Seiten um dieselbe Zahl)
  • x=5

Für die zweite Gleichung:

  • 2x + 1=11
  • 2x + 1 – 1=11 – 1 (Subtrahieren beider Seiten um dieselbe Zahl)
  • 2x=10
  • 2x / 2=10/2 (Teilen beider Seiten der Gleichung durch die gleiche Zahl)
  • x=5

Ja, die beiden Gleichungen sind also äquivalent, weil jeweils x=5 ist.

 

Praktische Äquivalenzgleichungen

Sie können im täglichen Leben äquivalente Gleichungen verwenden. Es ist besonders hilfreich beim Einkaufen. Zum Beispiel magst du ein bestimmtes Shirt. Eine Firma bietet das Shirt für 6 US-Dollar an und hat 12 US-Dollar Versand, während eine andere Firma das Shirt für 7,50 US-Dollar anbietet und 9 US-Dollar Versand hat. Welches Shirt hat den besten Preis? Wie viele Shirts (vielleicht möchten Sie sie für Freunde kaufen) müssten Sie kaufen, damit der Preis für beide Unternehmen gleich ist?

Um dieses Problem zu lösen, sei „x“ die Anzahl der Shirts. Setzen Sie zunächst x=1 für den Kauf eines Shirts. Für Unternehmen Nr. 1:

  • Preis=6x + 12=(6) (1) + 12=6 + 12=18 USD

Für Unternehmen Nr. 2:

  • Preis=7,5x + 9=(1) (7,5) + 9=7,5 + 9=16,50 USD

Wenn Sie also ein Hemd kaufen, bietet die zweite Firma ein besseres Angebot.

Um den Punkt zu finden, an dem die Preise gleich sind, sei „x“ die Anzahl der Hemden, aber setze die beiden Gleichungen gleich. Löse nach „x“, um herauszufinden, wie viele Shirts du kaufen müsstest:

  • 6x + 12=7,5x + 9
  • 6x – 7,5x=9 – 12 ( Subtrahieren der gleichen Zahlen oder Ausdrücke von jeder Seite)
  • -1,5x=-3
  • 1,5x=3 (beide Seiten durch die gleiche Zahl teilen, -1)
  • x=3 / 1,5 (beide Seiten durch 1,5 teilen)
  • x=2

Wenn Sie zwei Shirts kaufen, ist der Preis gleich, egal wo Sie ihn bekommen. Sie können dieselbe Mathematik verwenden, um zu bestimmen, mit welchem ​​Unternehmen Sie bei größeren Aufträgen besser umgehen können, und um zu berechnen, wie viel Sie mit einem Unternehmen gegenüber dem anderen sparen. Sehen Sie, Algebra ist nützlich!

 

Äquivalente Gleichungen mit zwei Variablen

Wenn Sie zwei Gleichungen und zwei Unbekannte (x und y) haben, können Sie bestimmen, ob zwei Sätze linearer Gleichungen äquivalent sind.

Zum Beispiel, wenn Sie die Gleichungen erhalten:

  • -3x + 12y=15
  • 7x – 10y=-2

Sie können feststellen, ob das folgende System äquivalent ist:

  • -x + 4y=5
  • 7x -10y=-2

Um dieses Problem zu lösen. finden Sie „x“ und „y“ für jedes Gleichungssystem. Wenn die Werte gleich sind, sind die Gleichungssysteme äquivalent.

Beginnen Sie mit dem ersten Satz. Um zwei Gleichungen mit zwei Variablen zu lösen , isolieren Sie eine Variable und fügen Sie ihre Lösung in die andere Gleichung ein. So isolieren Sie die Variable „y“:

  • -3x + 12y=15
  • -3x=15 – 12y
  • x=- (15 – 12y) / 3=-5 + 4y (in der zweiten Gleichung für „x“ einstecken)
  • 7x – 10y=-2
  • 7 (-5 + 4y) – 10y=-2
  • -35 + 28y – 10y=-2
  • 18y=33
  • y=33/18=11/6

Stecken Sie nun „y“ wieder in eine der Gleichungen, um nach „x“ zu lösen:

  • 7x – 10y=-2
  • 7x=-2 + 10 (11/6)

Wenn Sie dies durcharbeiten, erhalten Sie schließlich x=7/3.

Um die Frage zu beantworten, Sie könnten die gleichen Prinzipien auf den zweiten Satz von Gleichungen gelten für „x“ und „y“ zu lösen zu finden, ja, sie sind in der Tat äquivalent. Es ist leicht, sich in der Algebra zu verlieren, daher ist es eine gute Idee, Ihre Arbeit mit einem Online-Gleichungslöser zu überprüfen .

Der kluge Schüler wird jedoch feststellen, dass die beiden Gleichungssysteme äquivalent sind, ohne dass schwierige Berechnungen durchgeführt werden müssen. Der einzige Unterschied zwischen der ersten Gleichung in jedem Satz besteht darin, dass die erste dreimal so groß ist wie die zweite (äquivalent). Die zweite Gleichung ist genau die gleiche.

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