Mathematik

Was ist schlimmer: Fehler vom Typ I oder Typ II in der Statistik?

Fehler vom Typ I in der Statistik treten auf, wenn Statistiker die Nullhypothese falsch ablehnen oder eine Aussage ohne Wirkung, wenn die Nullhypothese wahr ist, während Fehler vom Typ II auftreten, wenn Statistiker die Nullhypothese und die Alternativhypothese oder die Aussage, für die die Nullhypothese nicht ablehnen Test wird durchgeführt, um Beweise für zu liefern, ist wahr.

Fehler vom Typ I und Typ II sind beide in den Prozess des Hypothesentests integriert, und obwohl es den Anschein haben mag, dass wir die Wahrscheinlichkeit dieser beiden Fehler so gering wie möglich halten möchten, ist es oft nicht möglich, die Wahrscheinlichkeiten dieser Fehler zu verringern Fehler, die die Frage aufwerfen: „Welcher der beiden Fehler ist schwerwiegender?“

Die kurze Antwort auf diese Frage ist, dass es wirklich von der Situation abhängt. In einigen Fällen ist ein Fehler vom Typ I einem Fehler vom Typ II vorzuziehen. In anderen Anwendungen ist ein Fehler vom Typ I gefährlicher als ein Fehler vom Typ II. Um eine ordnungsgemäße Planung des statistischen Testverfahrens sicherzustellen, müssen die Folgen dieser beiden Fehlertypen sorgfältig abgewogen werden, wenn entschieden werden soll, ob die Nullhypothese abgelehnt werden soll oder nicht. Wir werden im Folgenden Beispiele für beide Situationen sehen.

 

Fehler vom Typ I und Typ II

Wir beginnen mit dem Abrufen der Definition eines Fehlers vom Typ I und eines Fehlers vom Typ II. In den meisten statistischen Tests ist die  Nullhypothese eine Aussage über die vorherrschende Behauptung über eine Population ohne besonderen Effekt, während die alternative Hypothese die Aussage ist, für die wir in unserem Hypothesentest Beweise liefern möchten . Für Signifikanztests gibt es vier mögliche Ergebnisse:

  1. Wir lehnen die Nullhypothese ab und die Nullhypothese ist wahr. Dies ist ein sogenannter Typ-I-Fehler.
  2. Wir lehnen die Nullhypothese ab und die Alternativhypothese ist wahr. In dieser Situation wurde die richtige Entscheidung getroffen.
  3. Wir können die Nullhypothese nicht ablehnen und die Nullhypothese ist wahr. In dieser Situation wurde die richtige Entscheidung getroffen.
  4. Wir lehnen die Nullhypothese nicht ab und die Alternativhypothese ist wahr. Dies ist ein sogenannter Typ-II-Fehler.

Offensichtlich wäre das bevorzugte Ergebnis eines statistischen Hypothesentests das zweite oder dritte, bei dem die richtige Entscheidung getroffen wurde und kein Fehler aufgetreten ist, aber meistens wird im Verlauf des Hypothesentests ein Fehler gemacht – aber das ist alles Teil des Verfahrens. Wenn Sie jedoch wissen, wie Sie ein Verfahren ordnungsgemäß durchführen und „Fehlalarme“ vermeiden, können Sie die Anzahl der Fehler vom Typ I und Typ II verringern.

 

Kernunterschiede bei Fehlern vom Typ I und Typ II

In umgangssprachlicheren Begriffen können wir diese beiden Arten von Fehlern so beschreiben, dass sie bestimmten Ergebnissen eines Testverfahrens entsprechen. Für einen Fehler vom Typ I lehnen wir die Nullhypothese fälschlicherweise ab – mit anderen Worten, unser statistischer Test liefert fälschlicherweise positive Beweise für die alternative Hypothese. Somit entspricht ein Fehler vom Typ I einem „falsch positiven“ Testergebnis.

Andererseits tritt ein Typ-II-Fehler auf, wenn die alternative Hypothese wahr ist und wir die Nullhypothese nicht ablehnen. Auf diese Weise liefert unser Test fälschlicherweise Beweise gegen die alternative Hypothese. Daher kann ein Fehler vom Typ II als „falsch negatives“ Testergebnis angesehen werden.

Im Wesentlichen sind diese beiden Fehler invers zueinander, weshalb sie die Gesamtheit der Fehler abdecken, die bei statistischen Tests gemacht wurden. Sie unterscheiden sich jedoch auch in ihrer Auswirkung, wenn der Fehler vom Typ I oder Typ II unentdeckt oder ungelöst bleibt.

 

Welcher Fehler ist besser?

Wenn wir in falsch positiven und falsch negativen Ergebnissen denken, können wir besser überlegen, welche dieser Fehler besser sind – Typ II scheint aus gutem Grund eine negative Konnotation zu haben.

Angenommen, Sie entwerfen ein medizinisches Screening für eine Krankheit. Ein falsches Positiv eines Fehlers vom Typ I kann einen Patienten beunruhigen, dies führt jedoch zu anderen Testverfahren, die letztendlich ergeben, dass der erste Test falsch war. Im Gegensatz dazu würde ein falsches Negativ aufgrund eines Fehlers vom Typ II einem Patienten die falsche Gewissheit geben, dass er oder sie keine Krankheit hat, obwohl er oder sie dies tatsächlich tut. Aufgrund dieser falschen Angaben würde die Krankheit nicht behandelt. Wenn Ärzte zwischen diesen beiden Optionen wählen könnten, wäre ein falsches Positiv wünschenswerter als ein falsches Negativ.

Nehmen wir nun an, jemand wurde wegen Mordes vor Gericht gestellt. Die Nullhypothese hier ist, dass die Person nicht schuldig ist. Ein Fehler vom Typ I würde auftreten, wenn die Person eines Mordes für schuldig befunden würde, den sie nicht begangen hat, was für den Angeklagten ein sehr schwerwiegendes Ergebnis wäre. Andererseits würde ein Typ-II-Fehler auftreten, wenn die Jury die Person für nicht schuldig erklärt, obwohl sie den Mord begangen hat. Dies ist ein großartiges Ergebnis für den Angeklagten, aber nicht für die Gesellschaft insgesamt. Hier sehen wir den Wert in einem Justizsystem, das versucht, Fehler vom Typ I zu minimieren.

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