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Zweidimensionale Kinematik: Bewegung in einer Ebene

Dieser Artikel beschreibt die grundlegenden Konzepte, die erforderlich sind, um die Bewegung von Objekten in zwei Dimensionen zu analysieren, ohne Rücksicht auf die Kräfte, die die damit verbundene Beschleunigung verursachen. Ein Beispiel für diese Art von Problem wäre das Werfen eines Balls oder das Schießen einer Kanonenkugel. Es setzt eine Vertrautheit mit der eindimensionalen Kinematik voraus , da es dieselben Konzepte zu einem zweidimensionalen Vektorraum erweitert.

 

Koordinaten auswählen

Die Kinematik umfasst Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung, alles Vektorgrößen. die sowohl eine Größe als auch eine Richtung erfordern. Um ein Problem in der zweidimensionalen Kinematik zu beginnen, müssen Sie daher zuerst das von Ihnen verwendete Koordinatensystem definieren . Im Allgemeinen wird es in Bezug auf eine x- Achse und eine y- Achse so ausgerichtet sein, dass die Bewegung in die positive Richtung verläuft, obwohl es einige Umstände geben kann, unter denen dies nicht die beste Methode ist.

In Fällen, in denen die Schwerkraft berücksichtigt wird, ist es üblich, die Schwerkraftrichtung in die negative y- Richtung zu legen . Dies ist eine Konvention, die das Problem im Allgemeinen vereinfacht, obwohl es möglich wäre, die Berechnungen mit einer anderen Ausrichtung durchzuführen, wenn Sie dies wirklich wünschen.

 

Geschwindigkeitsvektor

Der Positionsvektor r ist ein Vektor, der vom Ursprung des Koordinatensystems zu einem bestimmten Punkt im System geht. Die Änderung in der Position (Δ r , ausgesprochen „Delta r „) ist die Differenz zwischen dem Startpunkt ( r 1 ) bis zum Endpunkt ( R 2 ). Wir definieren die Durchschnittsgeschwindigkeit ( v av ) als:

v av=( r 2 r 1 ) / ( t 2 t 1 )=& Dgr; r / & Dgr; t

Unter den Grenzwert für Δ t 0 annähert, erreichen wir die momentane Geschwindigkeit v . In der Berechnung ist dies die Ableitung von r in Bezug auf t oder d r / dt .

Wenn sich der Zeitunterschied verringert, rücken Start- und Endpunkt näher zusammen. Da die Richtung von r die gleiche Richtung wie v ist , wird klar, dass der momentane Geschwindigkeitsvektor an jedem Punkt entlang des Pfades den Pfad tangiert .

 

Geschwindigkeitskomponenten

Das nützliche Merkmal von Vektorgrößen ist, dass sie in ihre Komponentenvektoren zerlegt werden können. Die Ableitung eines Vektors ist die Summe seiner Komponentenableitungen, daher:

v x= dx / dt
v y= dy / dt

Die Größe des Geschwindigkeitsvektors wird durch den Satz von Pythagoras in folgender Form angegeben:

| v |= v=sqrt ( v x 2 + v y 2 )

Die Richtung von v ist von der x- Komponente aus um Alpha- Grad gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet und kann aus der folgenden Gleichung berechnet werden:

tan alpha= v y / v x

 

Beschleunigungsvektor

Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum. Ähnlich wie bei der obigen Analyse, finden wir , dass es die Δ v / Δ t . Die Grenze dieses als Δ t gegen 0 Ausbeuten die Ableitung von V in Bezug auf t .

In Bezug auf Komponenten kann der Beschleunigungsvektor wie folgt geschrieben werden:

a x= dv x / dt
a y= dv y / dt

oder

a x= d 2 x / dt 2
a y= d 2 y / dt 2

Die Größe und der Winkel ( zur Unterscheidung von Alpha als Beta bezeichnet ) des Nettobeschleunigungsvektors werden mit Komponenten auf ähnliche Weise wie für die Geschwindigkeit berechnet.

 

Arbeiten mit Komponenten

Häufig besteht die zweidimensionale Kinematik darin, die relevanten Vektoren in ihre x- und y- Komponenten zu zerlegen und dann jede der Komponenten so zu analysieren, als wären sie eindimensionale Fälle. Sobald diese Analyse abgeschlossen ist, werden die Komponenten Geschwindigkeit und / oder Beschleunigung wieder miteinander kombiniert, um die resultierenden zweidimensionalen Geschwindigkeits- und / oder Beschleunigungsvektoren zu erhalten.

 

Dreidimensionale Kinematik

Die obigen Gleichungen können alle für die Bewegung in drei Dimensionen erweitert werden, indem der Analyse eine z- Komponente hinzugefügt wird. Dies ist im Allgemeinen ziemlich intuitiv, obwohl einige Sorgfalt darauf verwendet werden muss, dass dies im richtigen Format erfolgt, insbesondere im Hinblick auf die Berechnung des Orientierungswinkels des Vektors.

Herausgegeben von Anne Marie Helmenstine, Ph.D.

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