Geschichte & Kultur

Die Geschichte der Algebra

Verschiedene Ableitungen des Wortes „Algebra“, das arabischen Ursprungs ist, wurden von verschiedenen Schriftstellern gegeben. Die erste Erwähnung des Wortes findet sich im Titel eines Werkes von Mahommed ben Musa al-Khwarizmi (Hovarezmi), der zu Beginn des 9. Jahrhunderts florierte. Der vollständige Titel lautet ilm al-jebr wa’l-muqabala und enthält die Ideen der Wiedergutmachung und des Vergleichs oder der Opposition und des Vergleichs oder der Auflösung und der Gleichung. Jebr leitet sich vom Verb jabara ab, um sich wieder zu vereinigen, und muqabala von gabala. gleich machen. (Die Wurzel Jabara wird auch im Wort Algebrista angetroffen,Dies bedeutet „Knochensetzer“ und wird in Spanien immer noch gebräuchlich.) Die gleiche Ableitung wird von Lucas Paciolus ( Luca Pacioli. gegeben, der den Ausdruck in der transliterierten Form alghebra e almucabala reproduziert und die Erfindung des Kunst für die Araber.

Andere Autoren haben das Wort vom arabischen Teilchen al (dem bestimmten Artikel) und gerber abgeleitet, was „Mensch“ bedeutet. Da Geber jedoch zufällig der Name eines berühmten maurischen Philosophen war, der etwa im 11. oder 12. Jahrhundert florierte, wurde angenommen, dass er der Begründer der Algebra war, die seitdem seinen Namen verewigt hat. Die Beweise von Peter Ramus (1515-1572) in diesem Punkt sind interessant, aber er gibt keine Autorität für seine singulären Aussagen. Im Vorwort zu seinem Arithmeticae libri duo et totidem Algebrae (1560) sagt er: „Der Name Algebra ist syrisch und bedeutet die Kunst oder Lehre eines hervorragenden Mannes ein Ehrenbegriff, als Meister oder Arzt unter uns. Es gab einen gewissen gelehrten Mathematiker, der seine in syrischer Sprache geschriebene Algebra an Alexander den Großen sandte und sie almucabala nannte, das heißt das Buch der dunklen oder mysteriösen Dinge Bis heute wird das gleiche Buch von den Gelehrten in den orientalischen Nationen sehr geschätzt, und von den Indern, die diese Kunst pflegen, wird es aljabra und alboret genannt, obwohl der Name von der Autor selbst ist nicht bekannt. “ Die unsichere Autorität dieser Aussagen und die Plausibilität der vorhergehenden Erklärung haben Philologen veranlasst, die Ableitung von al und jabara zu akzeptieren . Robert Recorde verwendet in seinem Whetstone of Witte (1557) die Variante algeber, während John Dee (1527-1608) bestätigt, dass Algiebar und nicht Algebra die richtige Form ist, und appelliert an die Autorität der arabischen Avicenna.

Obwohl der Begriff „Algebra“ heute allgemein verwendet wird, wurden von den italienischen Mathematikern während der Renaissance verschiedene andere Bezeichnungen verwendet. So finden wir Paciolus, der es l’Arte Magiore nennt ; ditta dal vulgo la Regula de la Cosa über Alghebra e Almucabala. Der Name l’arte magiore, die größere Kunst, soll sie von l’arte minore, der kleineren Kunst, unterscheiden, ein Begriff, den er auf die moderne Arithmetik anwendete. Seine zweite Variante, la regula de la cosa, die Regel der Sache oder unbekannte Menge, scheint in Italien gebräuchlich gewesen zu sein, und das Wort cosa wurde mehrere Jahrhunderte lang in den Formen coss oder algebra, cossic oder algebraic, cossist aufbewahrt oder Algebraist, & c. Andere italienische Schriftsteller nannten es die Regula rei et-Volkszählung, die Regel der Sache und des Produkts oder die Wurzel und das Quadrat. Das Prinzip, das diesem Ausdruck zugrunde liegt, liegt wahrscheinlich darin, dass es die Grenzen ihrer Errungenschaften in der Algebra gemessen hat, da sie nicht in der Lage waren, Gleichungen mit einem höheren Grad als dem Quadrat oder dem Quadrat zu lösen.

Franciscus Vieta (Francois Viete) nannte es Specious Arithmetic aufgrund der Art der beteiligten Mengen, die er symbolisch durch die verschiedenen Buchstaben des Alphabets darstellte. Sir Isaac Newton führte den Begriff Universal Arithmetic ein, da er sich mit der Operationslehre befasst, die sich nicht auf Zahlen, sondern auf allgemeine Symbole auswirkt.

Ungeachtet dieser und anderer eigenwilliger Bezeichnungen haben europäische Mathematiker an dem älteren Namen festgehalten, unter dem das Thema heute allgemein bekannt ist.

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Dieses Dokument ist Teil eines Artikels über Algebra aus der Ausgabe 1911 einer Enzyklopädie, die hier in den USA nicht urheberrechtlich geschützt ist. Der Artikel ist gemeinfrei und Sie können diese Arbeit nach Belieben kopieren, herunterladen, drucken und verteilen .

Es wurden alle Anstrengungen unternommen, um diesen Text korrekt und sauber darzustellen, es werden jedoch keine Garantien gegen Fehler gegeben. Weder Melissa Snell noch About können für Probleme haftbar gemacht werden, die bei der Textversion oder bei einer elektronischen Form dieses Dokuments auftreten.

Es ist schwierig, die Erfindung einer Kunst oder Wissenschaft definitiv einem bestimmten Alter oder einer bestimmten Rasse zuzuordnen. Die wenigen fragmentarischen Aufzeichnungen, die uns aus früheren Zivilisationen überliefert wurden, dürfen nicht als Repräsentation der Gesamtheit ihres Wissens angesehen werden, und das Weglassen einer Wissenschaft oder Kunst bedeutet nicht notwendigerweise, dass die Wissenschaft oder Kunst unbekannt war. Früher war es Brauch, die Erfindung der Algebra den Griechen zuzuweisen, aber seit der Entschlüsselung des Rhind-Papyrus durch Eisenlohr hat sich diese Ansicht geändert, denn in dieser Arbeit gibt es deutliche Anzeichen für eine algebraische Analyse. Das spezielle Problem – ein Haufen (hau) und sein siebter ergibt 19 – ist gelöst, da wir jetzt eine einfache Gleichung lösen sollten; aber Ahmes variiert seine Methoden in anderen ähnlichen Problemen. Diese Entdeckung führt die Erfindung der Algebra bis etwa 1700 v. Chr. Zurück, wenn nicht sogar früher.

Es ist wahrscheinlich, dass die Algebra der Ägypter äußerst rudimentär war, denn sonst sollten wir erwarten, in den Werken der griechischen Äometer Spuren davon zu finden. von denen Thales von Milet (640-546 v. Chr.) der erste war. Ungeachtet der Prolixität der Schriftsteller und der Anzahl der Schriften waren alle Versuche, eine algebraische Analyse aus ihren geometrischen Theoremen und Problemen zu extrahieren, erfolglos, und es wird allgemein eingeräumt, dass ihre Analyse geometrisch war und wenig oder keine Affinität zur Algebra hatte. Das erste erhaltene Werk, das sich einer Abhandlung über Algebra nähert, stammt von Diophantus (siehe auch), einem alexandrinischen Mathematiker, der um 350 n. Chr. Blühte. Das Original, das aus einem Vorwort und dreizehn Büchern bestand, ist jetzt verloren, aber wir haben eine lateinische Übersetzung der ersten sechs Bücher und ein Fragment eines anderen über polygonale Zahlen von Xylander von Augsburg (1575) sowie lateinische und griechische Übersetzungen von Gaspar Bachet de Merizac (1621-1670). Andere Ausgaben wurden veröffentlicht, von denen wir Pierre Fermats (1670), T. erwähnen können. L. Heath’s (1885) und P. Tannery’s (1893-1895). Im Vorwort zu dieser Arbeit, die einem Dionysius gewidmet ist, erklärt Diophantus seine Notation, indem er das Quadrat, den Würfel und die vierte Potenz, Dynamis, Cubus, Dynamodinimus usw. entsprechend der Summe in den Indizes benennt. Das Unbekannte nennt er Arithmus, die Zahl, und in Lösungen markiert er es mit dem letzten s; Er erklärt die Erzeugung von Kräften, die Regeln für die Multiplikation und Division einfacher Größen, behandelt jedoch nicht die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zusammengesetzter Größen. Anschließend diskutiert er verschiedene Artikel zur Vereinfachung von Gleichungen und gibt Methoden an, die noch immer gebräuchlich sind. Im gesamten Werk zeigt er beträchtlichen Einfallsreichtum, wenn es darum geht, seine Probleme auf einfache Gleichungen zu reduzieren, die entweder eine direkte Lösung zulassen oder in die als unbestimmte Gleichungen bekannte Klasse fallen. Diese letztere Klasse diskutierte er so eifrig, dass sie oft als diophantinische Probleme bekannt sind, und die Methoden zu ihrer Lösung als diophantinische Analyse (siehe GLEICHUNG, unbestimmt). Es ist schwer zu glauben, dass diese Arbeit von Diophantus in einer allgemeinen Periode spontan entstanden ist Stagnation.Es ist mehr als wahrscheinlich, dass er früheren Schriftstellern zu Dank verpflichtet war, die er nicht erwähnt und deren Werke jetzt verloren sind; Trotzdem sollte man für diese Arbeit annehmen, dass die Algebra den Griechen fast, wenn nicht sogar völlig unbekannt war.

Die Römer, die die Nachfolge der Griechen als oberste zivilisierte Macht in Europa antraten, legten keinen Wert auf ihre literarischen und wissenschaftlichen Schätze; Mathematik wurde so gut wie vernachlässigt; und abgesehen von einigen Verbesserungen bei arithmetischen Berechnungen sind keine wesentlichen Fortschritte aufzuzeichnen.

In der chronologischen Entwicklung unseres Faches müssen wir uns nun dem Orient zuwenden. Die Untersuchung der Schriften indischer Mathematiker hat eine grundlegende Unterscheidung zwischen dem griechischen und dem indischen Geist gezeigt, wobei der erstere überaus geometrisch und spekulativ ist, der letztere arithmetisch und hauptsächlich praktisch. Wir finden, dass die Geometrie vernachlässigt wurde, außer insoweit sie der Astronomie diente; Die Trigonometrie wurde weiterentwickelt, und die Algebra verbesserte sich weit über die Errungenschaften von Diophantus hinaus.

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Der früheste indische Mathematiker, von dem wir bestimmte Kenntnisse haben, ist Aryabhatta, der zu Beginn des 6. Jahrhunderts unserer Ära florierte. Der Ruhm dieses Astronomen und Mathematikers beruht auf seiner Arbeit, dem Aryabhattiyam, dessen drittes Kapitel der Mathematik gewidmet ist. Ganessa, eine bedeutende Astronomin, Mathematikerin und Scholiastin von Bhaskara, zitiert diese Arbeit und erwähnt gesondert das Cuttaca („Pulverisierer“), ein Mittel zur Lösung unbestimmter Gleichungen. Henry Thomas Colebrooke, einer der frühesten modernen Forscher der hinduistischen Wissenschaft, geht davon aus, dass sich die Abhandlung von Aryabhatta auf die Bestimmung quadratischer Gleichungen, unbestimmter Gleichungen ersten und wahrscheinlich zweiten Grades erstreckte. Ein astronomisches Werk, genannt Surya-siddhanta („Wissen über die Sonne“), von ungewisser Urheberschaft und wahrscheinlich aus dem 4. oder 5. Jahrhundert stammend, wurde von den Hindus als sehr wertvoll angesehen, da es nach dem Werk von Brahmagupta nur an zweiter Stelle stand , der etwa ein Jahrhundert später blühte.Es ist für den historischen Studenten von großem Interesse, da es den Einfluss der griechischen Wissenschaft auf die indische Mathematik in einer Zeit vor Aryabhatta zeigt. Nach einem Zeitraum von etwa einem Jahrhundert, in dem die Mathematik ihren höchsten Stand erreichte, blühte Brahmagupta (geb. 598 n. Chr.) Auf, dessen Werk mit dem Titel Brahma-sphuta-siddhanta („Das überarbeitete System von Brahma“) mehrere Kapitel enthält, die der Mathematik gewidmet sind. Von anderen indischen Schriftstellern können Cridhara, der Autor einer Ganita-sara („Quintessenz der Berechnung“), und Padmanabha, der Autor einer Algebra, erwähnt werden.

Eine Periode mathematischer Stagnation scheint dann den indischen Geist für einen Zeitraum von mehreren Jahrhunderten besessen zu haben, denn die Werke des nächsten Autors stehen jeden Augenblick nur wenig vor Brahmagupta. Wir beziehen uns auf Bhaskara Acarya, dessen Werk Siddhanta-ciromani („Diadem des anastronomischen Systems“) aus dem Jahr 1150 zwei wichtige Kapitel enthält: Lilavati („die schöne [Wissenschaft oder Kunst]“) und Viga-ganita („Wurzel“) -extraktion „), die auf Arithmetik und Algebra verzichtet werden.

Englische Übersetzungen der mathematischen Kapitel des Brahma-Siddhanta und des Siddhanta-Ciromani von HT Colebrooke (1817) und des Surya-Siddhanta von E. Burgess mit Anmerkungen von WD Whitney (1860) können für Einzelheiten konsultiert werden.

Die Frage, ob die Griechen ihre Algebra von den Hindus entlehnt haben oder umgekehrt, war Gegenstand vieler Diskussionen. Es besteht kein Zweifel, dass es einen ständigen Verkehr zwischen Griechenland und Indien gab, und es ist mehr als wahrscheinlich, dass ein Austausch von Produkten mit einer Übertragung von Ideen einhergehen würde. Moritz Cantor vermutet den Einfluss diophantinischer Methoden, insbesondere in den hinduistischen Lösungen unbestimmter Gleichungen, in denen bestimmte Fachbegriffe aller Wahrscheinlichkeit nach griechischen Ursprungs sind. Wie dem auch sei, es ist sicher, dass die hinduistischen Algebraisten Diophantus weit voraus waren. Die Mängel der griechischen Symbolik wurden teilweise behoben; Die Subtraktion wurde durch Platzieren eines Punktes über dem Subtrahend bezeichnet. Multiplikation durch Platzieren von bha (eine Abkürzung für bhavita, das „Produkt“) nach dem Faktom; Teilung, indem der Teiler unter die Dividende gestellt wird; und Quadratwurzel durch Einfügen von ka (eine Abkürzung für Karana, irrational) vor der Menge. Das Unbekannte hieß yavattavat, und wenn es mehrere gab, nahm der erste diese Bezeichnung an, und die anderen wurden mit den Namen der Farben bezeichnet; Zum Beispiel wurde x mit ya und y mit ka (von Kalaka, schwarz) bezeichnet.

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Eine bemerkenswerte Verbesserung der Ideen von Diophantus liegt in der Tatsache, dass die Hindus die Existenz von zwei Wurzeln einer quadratischen Gleichung erkannten, die negativen Wurzeln jedoch als unzureichend angesehen wurden, da für sie keine Interpretation gefunden werden konnte. Es wird auch angenommen, dass sie Entdeckungen der Lösungen höherer Gleichungen vorwegnahmen. Bei der Untersuchung unbestimmter Gleichungen, einem Zweig der Analyse, in dem sich Diophantus hervorgetan hat, wurden große Fortschritte erzielt. Während Diophantus eine einzige Lösung anstrebte, bemühten sich die Hindus um eine allgemeine Methode, mit der jedes unbestimmte Problem gelöst werden konnte. Damit waren sie völlig erfolgreich, denn sie erhielten allgemeine Lösungen für die Gleichungen ax (+ oder -) von=c, xy=ax + von + c (seitdem von Leonhard Euler wiederentdeckt) und cy2=ax2 + b. Ein besonderer Fall der letzten Gleichung, nämlich y2=ax2 + 1, belastete die Ressourcen moderner Algebraisten schwer. Es wurde von Pierre de Fermat Bernhard Frenicle de Bessy und 1657 allen Mathematikern vorgeschlagen.John Wallis und Lord Brounker erhielten gemeinsam eine langwierige Lösung, die 1658 und später 1668 von John Pell in seiner Algebra veröffentlicht wurde. Eine Lösung gab auch Fermat in seiner Beziehung. Obwohl Pell nichts mit der Lösung zu tun hatte, hat die Nachwelt die Gleichung Pells Gleichung oder Problem genannt, wenn es zu Recht das Hindu-Problem sein sollte, in Anerkennung der mathematischen Errungenschaften der Brahmanen.

Hermann Hankel hat auf die Bereitschaft hingewiesen, mit der die Hindus von Zahl zu Größe und umgekehrt übergingen. Obwohl dieser Übergang vom diskontinuierlichen zum kontinuierlichen nicht wirklich wissenschaftlich ist, hat er die Entwicklung der Algebra wesentlich gefördert, und Hankel bestätigt, dass die Brahmanen die sind, wenn wir Algebra als Anwendung arithmetischer Operationen auf rationale und irrationale Zahlen oder Größen definieren echte Erfinder der Algebra.

Die Integration der zerstreuten Stämme Arabiens im 7. Jahrhundert durch die mitreißende religiöse Propaganda von Mahomet ging mit einem kometenhaften Anstieg der intellektuellen Kräfte einer bisher unbekannten Rasse einher. Die Araber wurden die Hüter der indischen und griechischen Wissenschaft, während Europa durch interne Meinungsverschiedenheiten zerrissen wurde. Unter der Herrschaft der Abbasiden wurde Bagdad zum Zentrum des wissenschaftlichen Denkens; Ärzte und Astronomen aus Indien und Syrien strömten an ihren Hof; Griechische und indische Manuskripte wurden übersetzt (ein Werk, das vom Kalifen Mamun (813-833) begonnen und von seinen Nachfolgern geschickt fortgesetzt wurde); und in ungefähr einem Jahrhundert wurden die Araber in den Besitz der riesigen Vorräte an griechischem und indischem Lernen gebracht. Euklids Elemente wurden zuerst in der Regierungszeit von Harun-al-Rashid (786-809) übersetzt und auf Befehl von Mamun überarbeitet. Diese Übersetzungen wurden jedoch als unvollkommen angesehen, und es blieb Tobit ben Korra (836-901) überlassen, eine zufriedenstellende Ausgabe zu erstellen. Ptolemaios Almagest, die Werke von Apollonius, Archimedes, Diophantus und Teilen des Brahmasiddhanta wurden ebenfalls übersetzt.Der erste bemerkenswerte arabische Mathematiker war Mahommed ben Musa al-Khwarizmi, der unter Mamun florierte. Seine Abhandlung über Algebra und Arithmetik (deren letzterer Teil nur in Form einer 1857 entdeckten lateinischen Übersetzung erhalten ist) enthält nichts, was den Griechen und Hindus unbekannt war; es zeigt Methoden, die mit denen beider Rassen verwandt sind, wobei das griechische Element überwiegt. Der der Algebra gewidmete Teil trägt den Titel al-jeur wa’lmuqabala, und die Arithmetik beginnt mit „Gesprochen hat Algoritmi“, wobei der Name Khwarizmi oder Hovarezmi in das Wort Algoritmi übergegangen ist, das weiter in die moderneren Wörter Algorismus und Algoritmi umgewandelt wurde Algorithmus, der eine Berechnungsmethode bezeichnet.

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Tobit ben Korra (836-901), geboren in Harran in Mesopotamien, ein versierter Linguist, Mathematiker und Astronom, leistete durch seine Übersetzungen verschiedener griechischer Autoren auffällige Dienste. Seine Untersuchung der Eigenschaften gütlicher Zahlen (siehe auch) und des Problems der Dreiteilung eines Winkels ist von Bedeutung. Die Araber ähnelten bei der Wahl der Studien eher den Hindus als den Griechen; ihre Philosophen vermischten spekulative Dissertationen mit dem fortschrittlicheren Studium der Medizin; Ihre Mathematiker vernachlässigten die Feinheiten der Kegelschnitte und der diophantinischen Analyse und widmeten sich insbesondere der Perfektionierung des Zahlensystems (siehe ZAHL), der Arithmetik und der Astronomie (vgl.) Talente der Rasse wurden der Astronomie und Trigonometrie verliehen (vgl.) Fahri des al Karbi, der zu Beginn des 11. Jahrhunderts florierte, ist der Autor der wichtigsten arabischen Arbeit zur Algebra. Er folgt den Methoden des Diophantus; Seine Arbeit an unbestimmten Gleichungen hat keine Ähnlichkeit mit den indischen Methoden und enthält nichts, was nicht von Diophantus gesammelt werden kann.Er löste quadratische Gleichungen sowohl geometrisch als auch algebraisch sowie Gleichungen der Form x2n + axn + b=0; er bewies auch bestimmte Beziehungen zwischen der Summe der ersten n natürlichen Zahlen und den Summen ihrer Quadrate und Würfel.

Kubische Gleichungen wurden geometrisch gelöst, indem die Schnittpunkte von Kegelschnitten bestimmt wurden. Das Problem von Archimedes, eine Kugel durch eine Ebene in zwei Segmente mit einem vorgeschriebenen Verhältnis zu teilen, wurde zuerst von Al Mahani als kubische Gleichung ausgedrückt, und die erste Lösung wurde von Abu Gafar al Hazin gegeben. Die Bestimmung der Seite eines regulären Siebenecks, die in einen bestimmten Kreis eingeschrieben oder umschrieben werden kann, wurde auf eine kompliziertere Gleichung reduziert, die zuerst von Abul Gud erfolgreich gelöst wurde. Die Methode zur geometrischen Lösung von Gleichungen wurde von Omar Khayyam aus Khorassan, der im 11. Jahrhundert florierte, erheblich entwickelt. Dieser Autor stellte die Möglichkeit in Frage, Kubik durch reine Algebra und Biquadratik durch Geometrie zu lösen. Seine erste Behauptung wurde erst im 15. Jahrhundert widerlegt, seine zweite wurde jedoch von Abul Weta (940-908) abgewiesen, dem es gelang, die Formen x4=a und x4 + ax3=b zu lösen.

Obwohl die Grundlagen der geometrischen Auflösung kubischer Gleichungen den Griechen zuzuschreiben sind (denn Eutocius weist Menaechmus zwei Methoden zur Lösung der Gleichung x3=a und x3=2a3 zu), muss die nachfolgende Entwicklung der Araber als eine betrachtet werden ihrer wichtigsten Errungenschaften. Den Griechen war es gelungen, ein isoliertes Beispiel zu lösen; Die Araber erreichten die allgemeine Lösung numerischer Gleichungen.

Beträchtliche Aufmerksamkeit wurde den verschiedenen Stilen gewidmet, in denen die arabischen Autoren ihr Thema behandelt haben. Moritz Cantor hat vorgeschlagen, dass es zu einer Zeit zwei Schulen gab, eine in Sympathie mit den Griechen, die andere mit den Hindus; und dass, obwohl die Schriften der letzteren zuerst studiert wurden, sie schnell für die übersichtlicheren griechischen Methoden verworfen wurden, so dass unter den späteren arabischen Schriftstellern die indischen Methoden praktisch vergessen wurden und ihre Mathematik im Wesentlichen griechischen Charakter erhielt.

Wenn wir uns den Arabern im Westen zuwenden, finden wir denselben erleuchteten Geist. Cordova, die Hauptstadt des maurischen Reiches in Spanien, war ebenso ein Lernzentrum wie Bagdad. Der früheste bekannte spanische Mathematiker ist Al Madshritti (gest. 1007), dessen Ruhm auf einer Dissertation über gütliche Zahlen und auf den Schulen beruht, die von seinen Schülern in Cordoya, Dama und Granada gegründet wurden. Gabir ben Allah von Sevilla, allgemein Geber genannt, war ein berühmter Astronom und anscheinend in Algebra versiert, denn es wurde angenommen, dass das Wort „Algebra“ aus seinem Namen zusammengesetzt ist.

Als das maurische Reich zu schwinden begann, wurden die brillanten intellektuellen Gaben, die sie in drei oder vier Jahrhunderten so reichlich genährt hatten, geschwächt, und nach dieser Zeit gelang es ihnen nicht, einen Autor hervorzubringen, der mit denen des 7. bis 11. Jahrhunderts vergleichbar war.

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Dieses Dokument ist Teil eines Artikels über Algebra aus der Ausgabe 1911 einer Enzyklopädie, die hier in den USA nicht urheberrechtlich geschützt ist. Der Artikel ist gemeinfrei und Sie können diese Arbeit nach Belieben kopieren, herunterladen, drucken und verteilen .

Es wurden alle Anstrengungen unternommen, um diesen Text korrekt und sauber darzustellen, es werden jedoch keine Garantien gegen Fehler gegeben. Weder Melissa Snell noch About können für Probleme haftbar gemacht werden, die bei der Textversion oder bei einer elektronischen Form dieses Dokuments auftreten.

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