Mathematik

Verwenden der Standardnormalverteilung in der Mathematik

Die Standardnormalverteilung. die allgemein als Glockenkurve bekannt ist, zeigt sich an verschiedenen Stellen. Normalerweise werden mehrere verschiedene Datenquellen verteilt. Aufgrund dieser Tatsache kann unser Wissen über die Standardnormalverteilung in einer Reihe von Anwendungen verwendet werden. Wir müssen jedoch nicht für jede Anwendung mit einer anderen Normalverteilung arbeiten. Stattdessen arbeiten wir mit einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1. Wir werden einige Anwendungen dieser Verteilung betrachten, die alle mit einem bestimmten Problem verbunden sind.

 

Beispiel

Angenommen, uns wird gesagt, dass die Körpergröße erwachsener Männer in einer bestimmten Region der Welt normalerweise mit einem Mittelwert von 70 Zoll und einer Standardabweichung von 2 Zoll verteilt ist.

  1. Wie viel Prozent der erwachsenen Männer sind ungefähr größer als 30 cm?
  2. Welcher Anteil erwachsener Männer liegt zwischen 72 und 73 Zoll?
  3. Welche Größe entspricht dem Punkt, an dem 20% aller erwachsenen Männer größer als diese Größe sind?
  4. Welche Größe entspricht dem Punkt, an dem 20% aller erwachsenen Männer kleiner als diese Größe sind?

 

Lösungen

Bevor Sie fortfahren, stellen Sie sicher, dass Sie anhalten und Ihre Arbeit durchgehen. Eine detaillierte Erklärung jedes dieser Probleme folgt unten:

    1. Wir verwenden unsere Z- Score-Formel. um 73 in einen standardisierten Score umzuwandeln. Hier berechnen wir (73 – 70) / 2=1,5. Die Frage lautet also: Was ist die Fläche unter der Standardnormalverteilung für z größer als 1,5? Die Betrachtung unserer Tabelle mit z- Punkten zeigt, dass 0,933=93,3% der Datenverteilung kleiner als z=1,5 sind. Daher sind 100% – 93,3%=6,7% der erwachsenen Männer größer als 73 Zoll.
    2. Hier wandeln wir unsere Höhen in einen standardisierten Z- Score um. Wir haben gesehen, dass 73 einen Az- Wert von 1,5 hat. Der z- Wert von 72 ist (72 – 70) / 2=1. Wir suchen also nach der Fläche unter der Normalverteilung für 1 < z <1,5. Eine schnelle Überprüfung der Normalverteilungstabelle zeigt, dass dieser Anteil 0,933 – 0,841=0,092=9,2% beträgt
    3. Hier ist die Frage umgekehrt zu dem, was wir bereits betrachtet haben. Jetzt schauen wir in unserer Tabelle nach, um einen Z- Wert Z * zu finden , der einer Fläche von 0,200 oben entspricht. Zur Verwendung in unserer Tabelle stellen wir fest, dass hier 0,800 liegt. Wenn wir uns die Tabelle ansehen, sehen wir, dass z *=0,84 ist. Wir müssen jetzt diesen Z- Punkt in eine Höhe umwandeln . Da 0,84=(x – 70) / 2 ist, bedeutet dies, dass x=71,68 Zoll ist.

 

  1. Wir können die Symmetrie der Normalverteilung verwenden und uns die Mühe ersparen, den Wert z * nachzuschlagen . Anstelle von z *=0,84 haben wir -0,84=(x – 70) / 2. Somit ist x=68,32 Zoll.

Der Bereich des schattierten Bereichs links von z im obigen Diagramm zeigt diese Probleme. Diese Gleichungen stellen Wahrscheinlichkeiten dar und haben zahlreiche Anwendungen in Statistik und Wahrscheinlichkeit.

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