Mathematik

So lösen Sie Gleichungen mit exponentiellen Zerfallsfunktionen

Exponentialfunktionen erzählen die Geschichten explosiver Veränderungen. Die zwei Arten von Exponentialfunktionen sind exponentielles Wachstum und exponentieller Abfall. Vier Variablen (prozentuale Änderung, Zeit, Betrag zu Beginn des Zeitraums und Betrag am Ende des Zeitraums) spielen in Exponentialfunktionen eine Rolle. Verwenden Sie eine exponentielle Abklingfunktion, um den Betrag zu Beginn des Zeitraums zu ermitteln.

 

Exponentiellen Abfall

Exponentieller Zerfall ist die Änderung, die auftritt, wenn ein ursprünglicher Betrag über einen bestimmten Zeitraum um eine konstante Rate reduziert wird.

Hier ist eine exponentielle Abklingfunktion:

y= a ( 1- b) x

  • y : Endbetrag, der nach dem Zerfall über einen bestimmten Zeitraum verbleibt
  • a : Der ursprüngliche Betrag
  • x : Zeit
  • Der Abklingfaktor ist (1- b )
  • Die Variable b ist der Prozentsatz der Abnahme der Dezimalform.

 

Zweck der Ermittlung des ursprünglichen Betrags

Wenn Sie diesen Artikel lesen, sind Sie wahrscheinlich ehrgeizig. In sechs Jahren möchten Sie vielleicht einen Bachelor-Abschluss an der Dream University machen. Mit einem Preis von 120.000 US-Dollar ruft die Dream University finanzielle Nachtangst hervor. Nach schlaflosen Nächten treffen Sie, Mama und Papa sich mit einem Finanzplaner. Die blutunterlaufenen Augen Ihrer Eltern klären sich, wenn der Planer feststellt, dass eine Investition mit einer Wachstumsrate von acht Prozent Ihrer Familie helfen kann, das Ziel von 120.000 USD zu erreichen. Studiere hart. Wenn Sie und Ihre Eltern heute 75.620,36 USD investieren, wird die Dream University dank des exponentiellen Zerfalls zu Ihrer Realität.

 

Wie löst man

Diese Funktion beschreibt das exponentielle Wachstum der Investition:

120.000= a (1 +.08) 6

  • 120.000: Restbetrag nach 6 Jahren
  • .08: Jährliche Wachstumsrate
  • 6: Die Anzahl der Jahre, in denen die Investition wächst
  • a : Der anfängliche Betrag, den Ihre Familie investiert hat

Dank der symmetrischen Eigenschaft der Gleichheit ist 120.000=a (1 +.08) 6 dasselbe wie a (1 +.08) 6=120.000. Die symmetrische Eigenschaft der Gleichheit besagt, dass wenn 10 + 5=15, dann 15=10 + 5.

Wenn Sie die Gleichung lieber mit der Konstanten (120.000) rechts von der Gleichung umschreiben möchten, tun Sie dies.

a (1 +.08) 6=120.000

Zugegeben, die Gleichung sieht nicht wie eine lineare Gleichung aus (6 a=120.000 USD), ist aber lösbar. Dabei bleiben!

a (1 +.08) 6=120.000

Lösen Sie diese Exponentialgleichung nicht, indem Sie 120.000 durch 6 teilen. Es ist ein verlockendes mathematisches Nein-Nein.

1. Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen

a (1 +.08) 6=120.000
a (1.08) 6=120.000 (Klammer)
a (1.586874323)=120.000 (Exponent)

2. Lösen Sie durch Teilen

a (1,586874323)=120.000
a (1,586874323) / (1,586874323)=120.000 / (1,586874323)
1 a=75,620,35523
a=75,620,35523

Der ursprünglich zu investierende Betrag beträgt ca. 75.620,36 USD.

3. Einfrieren: Du bist noch nicht fertig; Verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um Ihre Antwort zu überprüfen

120.000=a (1 +.08) 6
120.000=75.620.35523 (1 +.08) 6
120.000=75.620.35523 (1.08) 6 (Klammer)
120.000=75.620.35523 (1.586874323) (Exponent)
120.000=120.000 (Multiplikation)

 

Antworten und Erklärungen zu den Fragen

Woodforest, Texas, ein Vorort von Houston, ist entschlossen, die digitale Kluft in seiner Gemeinde zu schließen. Vor einigen Jahren entdeckten Gemeindevorsteher, dass ihre Bürger Computer-Analphabeten waren. Sie hatten keinen Zugang zum Internet und wurden von der Datenautobahn ausgeschlossen. Die Staats- und Regierungschefs gründeten das World Wide Web on Wheels, eine Reihe mobiler Computerstationen.

Das World Wide Web on Wheels hat sein Ziel erreicht, dass nur 100 Computer-Analphabeten in Woodforest leben. Gemeindevorsteher untersuchten den monatlichen Fortschritt des World Wide Web on Wheels. Den Daten zufolge kann der Rückgang der Computer-Analphabeten durch die folgende Funktion beschrieben werden:

100= a (1 – 0,12) 10

1. Wie viele Menschen sind 10 Monate nach Einführung des World Wide Web on Wheels Computer-Analphabeten?

  • 100 Leute

Vergleichen Sie diese Funktion mit der ursprünglichen exponentiellen Wachstumsfunktion:

100= a (1 – 0,12) 10
y= a ( 1 + b) x

Die Variable y gibt die Anzahl der Computer-Analphabeten am Ende von 10 Monaten an, sodass 100 Personen nach dem Beginn der Arbeit des World Wide Web on Wheels in der Community immer noch Computer-Analphabeten sind.

2. Stellt diese Funktion einen exponentiellen Zerfall oder ein exponentielles Wachstum dar?

  • Diese Funktion stellt einen exponentiellen Abfall dar, da ein negatives Vorzeichen vor der prozentualen Änderung steht (.12).

3. Wie hoch ist die monatliche Änderungsrate?

  • 12 Prozent

4. Wie viele Menschen waren vor 10 Monaten zu Beginn des World Wide Web on Wheels Computer-Analphabeten?

  • 359 Menschen

Verwenden Reihenfolge der Operationen zu vereinfachen.

100=a (1 – 0,12) 10

100=a (0,88) 10 (Klammer)

100=a (.278500976) (Exponent)

Teilen, um zu lösen.

100 (.278500976)=a (.278500976) / (.278500976)

359.0651689=1 a

359.0651689=a

Verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um Ihre Antwort zu überprüfen.

100=359,0651689 (1 – 0,12) 10

100=359,0651689 (0,88) 10 (Klammer)

100=359,0651689 (0,278500976) (Exponent)

100=100 (Multiplizieren)

5. Wenn sich diese Trends fortsetzen, wie viele Menschen werden 15 Monate nach Einführung des World Wide Web on Wheels Computer-Analphabeten sein?

  • 52 Personen

Fügen Sie hinzu, was Sie über die Funktion wissen.

y=359,0651689 (1 – 0,12) x

y=359,0651689 (1 – 0,12) 15

Verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um y zu finden .

y=359,0651689 (0,88) 15 (Klammer)

y=359,0651689 (.146973854) (Exponent)

y=52,77319167 (Multiplizieren).

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