Mathematik

So lösen Sie ein lineares Gleichungssystem

In der Mathematik ist eine lineare Gleichung eine, die zwei Variablen enthält und in einem Diagramm als gerade Linie dargestellt werden kann. Ein System linearer Gleichungen ist eine Gruppe von zwei oder mehr linearen Gleichungen, die alle denselben Satz von Variablen enthalten. Lineare Gleichungssysteme können verwendet werden, um reale Probleme zu modellieren. Sie können mit verschiedenen Methoden gelöst werden:

  1. Grafik
  2. Auswechslung
  3. Eliminierung durch Zugabe
  4. Eliminierung durch  Subtraktion

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Grafik

Eric Raptosh Fotografie / Mischbilder / Getty Images

Die grafische Darstellung ist eine der einfachsten Möglichkeiten, ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Alles, was Sie tun müssen, ist, jede Gleichung als Linie grafisch darzustellen und die Punkte zu finden, an denen sich die Linien schneiden.

Betrachten Sie beispielsweise das folgende lineare Gleichungssystem, das die Variablen x und y enthält :

y= x + 3
y=-1 x – 3

Diese Gleichungen sind bereits in Steigungsschnittform geschrieben  , sodass sie leicht grafisch dargestellt werden können. Wenn die Gleichungen nicht in Steigungsschnittform geschrieben wären, müssten Sie sie zuerst vereinfachen. Sobald dies erledigt ist, sind nur noch wenige einfache Schritte erforderlich , um nach x und y zu lösen :

1. Stellen Sie beide Gleichungen grafisch dar.

2. Finden Sie den Punkt, an dem sich die Gleichungen schneiden. In diesem Fall lautet die Antwort (-3, 0).

3. Stellen Sie sicher, dass Ihre Antwort korrekt ist, indem Sie die Werte x=-3 und y=0 in die ursprünglichen Gleichungen einfügen.

y  = x  + 3
(0)=(-3) + 3
0=0

y  = -1 x  – 3
0=-1 (-3) – 3
0=3 – 3
0=0

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Auswechslung

Eine andere Möglichkeit, ein Gleichungssystem zu lösen, ist die Substitution. Mit dieser Methode vereinfachen Sie im Wesentlichen eine Gleichung und integrieren sie in die andere, wodurch Sie eine der unbekannten Variablen eliminieren können.

Betrachten Sie das folgende System linearer Gleichungen:

3 x + y=6
x=18 – 3 y

In der zweiten Gleichung ist x bereits isoliert. Wenn dies nicht der Fall wäre, müssten wir zuerst die Gleichung vereinfachen, um x zu isolieren . Nachdem wir x in der zweiten Gleichung isoliert haben , können wir das x in der ersten Gleichung durch den äquivalenten Wert aus der zweiten Gleichung ersetzen :  (18 – 3y) .

1. Ersetzen Sie x in der ersten Gleichung durch den angegebenen Wert von x in der zweiten Gleichung.

3 ( 18 – 3y ) + y=6

2. Vereinfachen Sie jede Seite der Gleichung.

54 – 9 y + y=6
54 – 8 y=6

3. Lösen Sie die Gleichung für y .

54 – 8 y – 54=6 – 54 –
8 y=-48 –
8 y / -8=-48 / -8

y=6

4. Stecke y=6 ein und löse nach x .

x=18 – 3 y
x=18 – 3 (6)
x=18 – 18
x=0

5. Stellen Sie sicher, dass (0,6) die Lösung ist.

x=18 – 3 y
0=18 – 3 (6)
0=18 – 18
0=0

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Eliminierung durch Zugabe

Wenn die linearen Gleichungen, die Sie erhalten, mit den Variablen auf der einen Seite und einer Konstanten auf der anderen Seite geschrieben sind, ist der einfachste Weg, das System zu lösen, die Eliminierung.

Betrachten Sie das folgende System linearer Gleichungen:

x + y=180
3 x + 2 y=414

1. Schreiben Sie zuerst die Gleichungen nebeneinander, damit Sie die Koeffizienten mit jeder Variablen leicht vergleichen können.

2. Multiplizieren Sie als nächstes die erste Gleichung mit -3.

-3 (x + y=180)

3. Warum haben wir mit -3 multipliziert? Fügen Sie die erste Gleichung zur zweiten hinzu, um dies herauszufinden.

-3x + -3y=-540
+ 3x + 2y=414
0 + -1y=-126

Wir haben jetzt die Variable x eliminiert .

4. Löse nach der Variablen  y :

y=126

5. Stecken Sie y=126 ein, um x zu finden .

x + y=180
x + 126=180
x=54

6. Stellen Sie sicher, dass (54, 126) die richtige Antwort ist.

3 x + 2 y=414
3 (54) + 2 (126)=414
414=414

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Eliminierung durch Subtraktion

Eine andere Möglichkeit, durch Eliminierung zu lösen, besteht darin, die gegebenen linearen Gleichungen zu subtrahieren, anstatt sie zu addieren.

Betrachten Sie das folgende System linearer Gleichungen:

y – 12 x=3
y – 5 x=-4

1. Anstatt die Gleichungen zu addieren, können wir sie subtrahieren, um y zu eliminieren .

y – 12 x=3
– ( y  – 5 x  = -4)
0 – 7 x=7

2. Löse nach x .

-7 x=7
x=-1

3. Stecken Sie x=-1 ein, um nach y zu lösen .

y – 12 x=3
y – 12 (-1)=3
y + 12=3
y=-9

4. Stellen Sie sicher, dass (-1, -9) die richtige Lösung ist.

(-9) – 5 (-1)=-4
-9 + 5=-4
-4=-4

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