Mathematik

Wahrscheinlichkeit einer großen Straße in Yahtzee in einer Rolle

Yahtzee ist ein Würfelspiel, bei dem fünf sechsseitige Standardwürfel verwendet werden. In jeder Runde erhalten die Spieler drei Würfe, um verschiedene Ziele zu erreichen. Nach jedem Wurf kann ein Spieler entscheiden, welche der Würfel (falls vorhanden) beibehalten und welche erneut gewürfelt werden sollen. Die Ziele umfassen eine Vielzahl verschiedener Arten von Kombinationen, von denen viele aus dem Poker stammen. Jede Art von Kombination ist eine andere Anzahl von Punkten wert.

Zwei der Arten von Kombinationen, die Spieler würfeln müssen, werden als Geraden bezeichnet. eine kleine Gerade und eine große Gerade. Wie Poker Straights bestehen diese Kombinationen aus aufeinanderfolgenden Würfeln. Kleine Geraden verwenden vier der fünf Würfel und große Geraden verwenden alle fünf Würfel. Aufgrund der Zufälligkeit des Würfelns kann die Wahrscheinlichkeit verwendet werden, um zu analysieren, wie wahrscheinlich es ist, eine große Gerade in einem einzelnen Wurf zu würfeln.

 

Annahmen

Wir gehen davon aus, dass die verwendeten Würfel fair und unabhängig voneinander sind. Somit gibt es einen einheitlichen Probenraum, der aus allen möglichen Würfeln der fünf Würfel besteht. Obwohl Yahtzee drei Rollen zulässt, werden wir der Einfachheit halber nur den Fall betrachten, dass wir eine große Gerade in einer einzelnen Rolle erhalten.

 

Probenraum

Da wir mit einem einheitlichen Probenraum arbeiten. wird die Berechnung unserer Wahrscheinlichkeit zur Berechnung einiger Zählprobleme. Die Wahrscheinlichkeit einer Geraden ist die Anzahl der Möglichkeiten, eine Gerade zu würfeln, geteilt durch die Anzahl der Ergebnisse im Probenraum.

Es ist sehr einfach, die Anzahl der Ergebnisse im Probenraum zu zählen. Wir würfeln mit fünf Würfeln und jeder dieser Würfel kann eines von sechs verschiedenen Ergebnissen haben. Eine grundlegende Anwendung des Multiplikationsprinzips besagt, dass der Probenraum 6 x 6 x 6 x 6 x 6=6 5=7776 Ergebnisse hat. Diese Zahl ist der Nenner aller Brüche, die wir für unsere Wahrscheinlichkeiten verwenden.

 

Anzahl der Geraden

Als nächstes müssen wir wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine große Gerade zu rollen. Dies ist schwieriger als die Berechnung der Größe des Probenraums. Der Grund, warum dies schwieriger ist, liegt darin, dass unsere Zählung subtiler ist.

Eine große Gerade ist schwerer zu rollen als eine kleine Gerade, aber es ist einfacher, die Anzahl der Möglichkeiten zum Rollen einer großen Geraden zu zählen als die Anzahl der Möglichkeiten zum Rollen einer kleinen Geraden. Diese Art der Geraden besteht aus fünf fortlaufenden Zahlen. Da die Würfel nur sechs verschiedene Zahlen enthalten, gibt es nur zwei mögliche große Geraden: {1, 2, 3, 4, 5} und {2, 3, 4, 5, 6}.

Jetzt bestimmen wir die unterschiedliche Anzahl von Möglichkeiten, einen bestimmten Würfelsatz zu würfeln, die uns einen Straight geben. Für eine große Straße mit den Würfeln {1, 2, 3, 4, 5} können wir die Würfel in beliebiger Reihenfolge haben. Es gibt also verschiedene Möglichkeiten, dieselbe Gerade zu rollen:

  • 1, 2, 3, 4, 5
  • 5, 4, 3, 2, 1
  • 1, 3, 5, 2, 4

Es wäre mühsam, alle möglichen Wege aufzulisten, um eine 1, 2, 3, 4 und 5 zu erhalten. Da wir nur wissen müssen, wie viele Möglichkeiten es gibt, können wir einige grundlegende Zähltechniken verwenden. Wir stellen fest, dass wir nur die fünf Würfel permutieren. Es gibt 5!=120 Möglichkeiten, dies zu tun. Da es zwei Kombinationen von Würfeln gibt, um eine große Gerade zu machen, und 120 Möglichkeiten, um jede dieser Würfel zu würfeln, gibt es 2 x 120=240 Möglichkeiten, um eine große Gerade zu würfeln.

 

Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, eine große Gerade zu rollen, ist nun eine einfache Divisionsberechnung. Da es 240 Möglichkeiten gibt, eine große Gerade in einem einzigen Wurf zu würfeln, und 7776 Würfe mit fünf Würfeln möglich sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine große Gerade zu würfeln, 240/7776, was nahe bei 1/32 und 3,1% liegt.

Natürlich ist es mehr als wahrscheinlich, dass der erste Wurf kein Straight ist. Wenn dies der Fall ist, dürfen wir zwei weitere Rollen machen, was eine Straße viel wahrscheinlicher macht. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist aufgrund aller möglichen Situationen, die berücksichtigt werden müssten, viel komplizierter zu bestimmen.

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