Mathematik

Die Wahrscheinlichkeit, ein volles Haus in Yahtzee zu rollen?

Das Spiel von Yahtzee beinhaltet die Verwendung von fünf Standardwürfeln. In jeder Runde erhalten die Spieler drei Würfe. Nach jedem Wurf kann eine beliebige Anzahl von Würfeln gehalten werden, mit dem Ziel, bestimmte Kombinationen dieser Würfel zu erhalten. Jede Art von Kombination ist eine andere Anzahl von Punkten wert.

Eine dieser Arten von Kombinationen wird als volles Haus bezeichnet. Wie ein Full House im Pokerspiel enthält diese Kombination drei einer bestimmten Zahl sowie ein Paar einer anderen Zahl. Da Yahtzee das zufällige Würfeln beinhaltet, kann dieses Spiel analysiert werden, indem die Wahrscheinlichkeit verwendet wird, um zu bestimmen, wie wahrscheinlich es ist, ein volles Haus in einem einzigen Wurf zu würfeln.

 

Annahmen

Wir werden zunächst unsere Annahmen darlegen. Wir gehen davon aus, dass die verwendeten Würfel fair und unabhängig voneinander sind. Dies bedeutet, dass wir einen einheitlichen Probenraum haben, der aus allen möglichen Würfeln der fünf Würfel besteht. Obwohl das Spiel von Yahtzee drei Würfe erlaubt, werden wir nur den Fall betrachten, dass wir ein volles Haus in einem einzigen Wurf erhalten.

 

Probenraum

Da wir mit einem einheitlichen Probenraum arbeiten. wird die Berechnung unserer Wahrscheinlichkeit zur Berechnung einiger Zählprobleme. Die Wahrscheinlichkeit eines vollen Hauses ist die Anzahl der Möglichkeiten, ein volles Haus zu würfeln, geteilt durch die Anzahl der Ergebnisse im Probenraum.

Die Anzahl der Ergebnisse im Probenraum ist unkompliziert. Da es fünf Würfel gibt und jeder dieser Würfel eines von sechs verschiedenen Ergebnissen haben kann, beträgt die Anzahl der Ergebnisse im Probenraum 6 x 6 x 6 x 6 x 6=6 5=7776.

 

Anzahl der vollen Häuser

Als nächstes berechnen wir die Anzahl der Möglichkeiten, ein volles Haus zu würfeln. Dies ist ein schwierigeres Problem. Um ein volles Haus zu haben, brauchen wir drei von einer Art Würfel, gefolgt von einem Paar einer anderen Art von Würfeln. Wir werden dieses Problem in zwei Teile teilen:

  • Wie viele verschiedene Arten von vollen Häusern könnten gerollt werden?
  • Wie viele Möglichkeiten gibt es, wie ein bestimmter Typ eines vollen Hauses gerollt werden kann?

Sobald wir die Anzahl für jedes dieser Häuser kennen, können wir sie miteinander multiplizieren, um die Gesamtzahl der vollen Häuser zu erhalten, die gewürfelt werden können.

Wir beginnen mit der Anzahl der verschiedenen Arten von vollen Häusern, die gerollt werden können. Jede der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 kann für die Dreier verwendet werden. Es gibt fünf verbleibende Nummern für das Paar. Somit gibt es 6 x 5=30 verschiedene Arten von Full-House-Kombinationen, die gewürfelt werden können.

Zum Beispiel könnten wir 5, 5, 5, 2, 2 als eine Art von vollem Haus haben. Ein anderer Typ eines vollen Hauses wäre 4, 4, 4, 1, 1. Ein anderer wäre noch 1, 1, 4, 4, 4, was sich vom vorhergehenden vollen Haus unterscheidet, da die Rollen der Viere und Einsen vertauscht wurden .

Jetzt bestimmen wir die unterschiedliche Anzahl von Möglichkeiten, um ein bestimmtes volles Haus zu würfeln. Zum Beispiel gibt uns jede der folgenden Aussagen das gleiche volle Haus von drei Vieren und zwei Einsen:

  • 4, 4, 4, 1, 1
  • 4, 1, 4, 1, 4
  • 1, 1, 4, 4, 4
  • 1, 4, 4, 4, 1
  • 4, 1, 4, 4, 1

Wir sehen, dass es mindestens fünf Möglichkeiten gibt, ein bestimmtes volles Haus zu rollen. Gibt es noch andere Woher wissen wir, dass wir alle gefunden haben, auch wenn wir immer wieder andere Möglichkeiten auflisten?

Der Schlüssel zur Beantwortung dieser Fragen besteht darin, zu erkennen, dass es sich um ein Zählproblem handelt, und zu bestimmen, mit welcher Art von Zählproblem wir arbeiten. Es gibt fünf Positionen, von denen drei mit vier besetzt sein müssen. Die Reihenfolge, in der wir unsere Viere platzieren, spielt keine Rolle, solange die genauen Positionen besetzt sind. Sobald die Position der Vierer bestimmt wurde, erfolgt die Platzierung der Vierer automatisch. Aus diesen Gründen müssen wir die Kombination von fünf Positionen berücksichtigen, die jeweils drei Positionen einnehmen.

Wir verwenden die Kombinationsformel, um C (5, 3)=5! / (3! 2!)=(5 x 4) / 2=10 zu erhalten. Dies bedeutet, dass es 10 verschiedene Möglichkeiten gibt, ein bestimmtes volles Haus zu würfeln.

Zusammengenommen haben wir unsere Anzahl an vollen Häusern. Es gibt 10 x 30=300 Möglichkeiten, um ein volles Haus in einer Rolle zu erhalten.

 

Wahrscheinlichkeit

Nun ist die Wahrscheinlichkeit eines vollen Hauses eine einfache Teilungsberechnung. Da es 300 Möglichkeiten gibt, ein volles Haus in einem einzigen Wurf zu würfeln, und 7776 Würfel mit fünf Würfeln möglich sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, ein volles Haus zu würfeln, 300/7776, was nahe bei 1/26 und 3,85% liegt. Dies ist 50-mal wahrscheinlicher als das Rollen eines Yahtzee in einem einzigen Wurf.

Natürlich ist es sehr wahrscheinlich, dass die erste Rolle kein volles Haus ist. Wenn dies der Fall ist, dürfen wir zwei weitere Brötchen machen, was ein volles Haus viel wahrscheinlicher macht. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist aufgrund aller möglichen Situationen, die berücksichtigt werden müssten, viel komplizierter zu bestimmen.

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