Mathematik

Was ist ein Sigma-Feld?

Es gibt viele Ideen aus der Mengenlehre, die der Wahrscheinlichkeit zugrunde liegen. Eine solche Idee ist die eines Sigma-Feldes. Ein Sigma-Feld bezieht sich auf die Sammlung von Teilmengen eines Probenraums. die wir verwenden sollten, um eine mathematisch formale Definition der Wahrscheinlichkeit zu erstellen. Die Mengen im Sigma-Feld bilden die Ereignisse aus unserem Probenraum.

 

Definition

Die Definition eines Sigma-Feldes erfordert, dass wir einen Probenraum S zusammen mit einer Sammlung von Teilmengen von S haben . Diese Sammlung von Teilmengen ist ein Sigma-Feld, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • Wenn die Teilmenge A in dem Sigma-Bereich ist, dann ist auch sein Komplement A C .
  • Wenn A zählbar unendlich viele Teilmengen aus dem Sigma-Feld sind, dann liegt sowohl der Schnittpunkt als auch die Vereinigung all dieser Mengen auch im Sigma-Feld.

 

Implikationen

Die Definition impliziert, dass zwei bestimmte Mengen Teil jedes Sigma-Feldes sind. Da sich sowohl A als auch A C im Sigma-Feld befinden, ist dies auch der Schnittpunkt. Dieser Schnittpunkt ist die leere Menge. Daher ist die leere Menge Teil jedes Sigma-Feldes.

Der Probenraum S muss ebenfalls Teil des Sigma-Feldes sein. Der Grund dafür ist, dass die Vereinigung von A und A C im Sigma-Feld liegen muss. Diese Vereinigung ist der Probenraum S .

 

Argumentation

Es gibt mehrere Gründe, warum diese spezielle Sammlung von Sets nützlich ist. Zunächst werden wir uns überlegen, warum sowohl die Menge als auch ihr Komplement Elemente der Sigma-Algebra sein sollten. Das Komplement in der Mengenlehre entspricht der Negation. Die Elemente im Komplement von A sind die Elemente in der universellen Menge, die keine Elemente von A sind . Auf diese Weise stellen wir sicher, dass, wenn ein Ereignis Teil des Probenraums ist, dieses nicht auftretende Ereignis auch als Ereignis im Probenraum betrachtet wird.

Wir möchten auch, dass die Vereinigung und der Schnittpunkt einer Sammlung von Mengen in der Sigma-Algebra liegt, da Vereinigungen nützlich sind, um das Wort „oder“ zu modellieren. Das Ereignis, dass A oder B auftritt, wird durch die Vereinigung von A und B dargestellt . In ähnlicher Weise verwenden wir den Schnittpunkt, um das Wort „und“ darzustellen. Das Ereignis, dass A und B auftreten, wird durch den Schnittpunkt der Mengen A und B dargestellt .

Es ist unmöglich, eine unendliche Anzahl von Mengen physikalisch zu schneiden. Wir können uns dies jedoch als eine Grenze endlicher Prozesse vorstellen. Aus diesem Grund schließen wir auch den Schnittpunkt und die Vereinigung von zählbar vielen Teilmengen ein. Für viele unendliche Probenräume müssten wir unendliche Vereinigungen und Schnittpunkte bilden.

 

Verwandte Ideen

Ein Konzept, das sich auf ein Sigma-Feld bezieht, wird als Teilmengenfeld bezeichnet. Ein Feld von Teilmengen erfordert nicht, dass zählbar unendliche Gewerkschaften und Schnittpunkte Teil davon sind. Stattdessen müssen wir nur endliche Vereinigungen und Schnittpunkte in einem Feld von Teilmengen enthalten.

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