Mathematik

Die Wahrscheinlichkeit, einen Yahtzee zu rollen

Yahtzee ist ein Würfelspiel, das eine Kombination aus Zufall und Strategie beinhaltet. Ein Spieler beginnt seinen Zug mit fünf Würfeln. Nach diesem Wurf kann der Spieler entscheiden, eine beliebige Anzahl der Würfel erneut zu würfeln. Es gibt höchstens drei Rollen pro Runde. Nach diesen drei Würfen wird das Ergebnis der Würfel auf ein Punkteblatt eingetragen. Dieses Bewertungsblatt enthält verschiedene Kategorien, z. B. ein Full House oder eine große Straße. Jede der Kategorien ist mit unterschiedlichen Würfelkombinationen zufrieden.

Die am schwierigsten auszufüllende Kategorie ist die eines Yahtzee. Ein Yahtzee tritt auf, wenn ein Spieler fünf gleiche Zahlen würfelt. Wie unwahrscheinlich ist ein Yahtzee? Dies ist ein Problem, das viel komplizierter ist als das Finden von Wahrscheinlichkeiten für zwei oder sogar drei Würfel. Der Hauptgrund ist, dass es viele Möglichkeiten gibt, während drei Würfen fünf passende Würfel zu erhalten.

Wir können die Wahrscheinlichkeit berechnen, einen Yahtzee zu würfeln, indem wir die kombinatorische Formel für Kombinationen verwenden und das Problem in mehrere sich gegenseitig ausschließende Fälle aufteilen.

 

Eine Rolle

Der einfachste Fall ist, sofort beim ersten Wurf einen Yahtzee zu erhalten. Wir werden zuerst die Wahrscheinlichkeit untersuchen, einen bestimmten Yahtzee von fünf Zweien zu würfeln, und dies dann leicht auf die Wahrscheinlichkeit eines Yahtzee ausweiten.

Die Wahrscheinlichkeit, eine Zwei zu würfeln, beträgt 1/6, und das Ergebnis jedes Würfels ist unabhängig vom Rest. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, fünf Zweien zu würfeln, (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6)=1/7776. Die Wahrscheinlichkeit, fünf von einer anderen Zahl zu würfeln, beträgt ebenfalls 1/7776. Da ein Würfel insgesamt sechs verschiedene Zahlen enthält, multiplizieren wir die obige Wahrscheinlichkeit mit 6.

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Yahtzee beim ersten Wurf 6 x 1/7776=1/1296=0,08 Prozent beträgt.

 

Zwei Rollen

Wenn wir etwas anderes als fünf einer Art des ersten Wurfs würfeln, müssen wir einige unserer Würfel erneut würfeln, um zu versuchen, einen Yahtzee zu bekommen. Angenommen, unsere erste Rolle hat vier Gleiche. Wir würden den einen Würfel, der nicht passt, erneut würfeln und dann einen Yahtzee für diesen zweiten Wurf bekommen.

Die Wahrscheinlichkeit, auf diese Weise insgesamt fünf Zweien zu würfeln, ergibt sich wie folgt:

  1. Auf der ersten Rolle haben wir vier Zweien. Da es eine Wahrscheinlichkeit von 1/6 gibt, eine Zwei zu würfeln, und eine Wahrscheinlichkeit von 1/6, eine Zwei nicht zu würfeln, multiplizieren wir (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6)=5/7776.
  2. Jeder der fünf gewürfelten Würfel könnte der Nicht-Zwei sein. Wir verwenden unsere Kombinationsformel für C (5, 1)=5, um zu zählen, auf wie viele Arten wir vier Zweien würfeln können und etwas, das keine Zwei ist.
  3. Wir multiplizieren und sehen, dass die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf genau vier Zweien zu würfeln, 25/7776 beträgt.
  4. Beim zweiten Wurf müssen wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, einen Wurf zu würfeln. Das ist 1/6. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, einen Yahtzee von zwei auf die obige Weise zu würfeln, (25/7776) x (1/6)=25/46656.

Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, einen Yahtzee auf diese Weise zu würfeln, wird die obige Wahrscheinlichkeit mit 6 multipliziert, da ein Würfel sechs verschiedene Zahlen enthält. Dies ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 6 x 25/46656=0,32 Prozent.

Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, einen Yahtzee mit zwei Rollen zu rollen. Alle folgenden Wahrscheinlichkeiten werden auf die gleiche Weise wie oben gefunden:

  • Wir könnten drei Gleiche würfeln und dann zwei Würfel, die zu unserem zweiten Wurf passen. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36)=0,54 Prozent.
  • Wir könnten ein passendes Paar werfen und bei unserem zweiten Wurf drei passende Würfel. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216)=0,36 Prozent.
  • Wir könnten fünf verschiedene Würfel werfen, einen Würfel aus unserem ersten Wurf retten und dann vier Würfel werfen, die zum zweiten Wurf passen. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt (6! / 7776) x (1/1296)=0,01 Prozent.

Die oben genannten Fälle schließen sich gegenseitig aus. Dies bedeutet, dass wir zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, einen Yahtzee in zwei Rollen zu würfeln, die oben genannten Wahrscheinlichkeiten addieren und ungefähr 1,23 Prozent haben.

 

Drei Rollen

Für die bisher komplizierteste Situation werden wir nun den Fall untersuchen, in dem wir alle drei Rollen verwenden, um einen Yahtzee zu erhalten. Wir könnten dies auf verschiedene Arten tun und müssen alle berücksichtigen.

Die Wahrscheinlichkeiten dieser Möglichkeiten werden nachfolgend berechnet:

    • Die Wahrscheinlichkeit, vier Gleiche zu würfeln, dann nichts und dann mit dem letzten Würfel des letzten Wurfs übereinzustimmen, beträgt 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6)=0,27 Prozent.
    • Die Wahrscheinlichkeit, drei Gleiche zu würfeln, dann nichts und dann mit dem richtigen Paar auf dem letzten Wurf übereinzustimmen, beträgt 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36)=0,37 Prozent.
    • Die Wahrscheinlichkeit, ein übereinstimmendes Paar zu würfeln, dann nichts und dann mit den richtigen Dreierpaaren auf dem dritten Wurf übereinzustimmen, beträgt 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216) )=0,21 Prozent.
    • Die Wahrscheinlichkeit, einen einzelnen Würfel zu würfeln, dann nichts, was mit diesem übereinstimmt, und dann mit den richtigen Vierern beim dritten Wurf übereinzustimmen, beträgt (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296)=0,003 Prozent.
    • Die Wahrscheinlichkeit, drei Gleiche zu würfeln, die beim nächsten Wurf mit einem zusätzlichen Würfel übereinstimmen, gefolgt vom fünften Würfel beim dritten Wurf, beträgt 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1). x (5/36) x (1/6)=0,89 Prozent.
    • Die Wahrscheinlichkeit, ein Paar zu würfeln, das beim nächsten Wurf mit einem zusätzlichen Paar übereinstimmt, gefolgt vom Abgleich des fünften Würfels beim dritten Wurf, beträgt 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x ( 5/216) x (1/6)=0,89 Prozent.

 

  • Die Wahrscheinlichkeit, ein Paar zu würfeln, das beim nächsten Wurf mit einem zusätzlichen Würfel übereinstimmt, gefolgt vom Abgleichen der letzten beiden Würfel beim dritten Wurf, beträgt 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36)=0,74 Prozent.
  • Die Wahrscheinlichkeit, einen Unikat zu würfeln, einen anderen Würfel, der dem zweiten Wurf entspricht, und dann einen Dreier beim dritten Wurf, ist (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296). x (1/216)=0,01 Prozent.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Unikat, ein Dreier auf dem zweiten Wurf und ein Match auf dem dritten Wurf gewürfelt werden, beträgt (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6)=0,02 Prozent.
  • Die Wahrscheinlichkeit, ein Unikat zu würfeln, ein Paar, das mit dem zweiten Wurf übereinstimmt, und ein weiteres Paar, das mit dem dritten Wurf übereinstimmt, beträgt (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36)=0,03 Prozent.

Wir addieren alle oben genannten Wahrscheinlichkeiten, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, mit der ein Yahtzee in drei Würfeln gewürfelt wird. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt 3,43 Prozent.

 

Gesamtwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines Yahtzee in einem Wurf beträgt 0,08 Prozent, die Wahrscheinlichkeit eines Yahtzee in zwei Würfeln beträgt 1,23 Prozent und die Wahrscheinlichkeit eines Yahtzee in drei Würfeln beträgt 3,43 Prozent. Da sich diese jeweils gegenseitig ausschließen, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, in einer bestimmten Runde einen Yahtzee zu erhalten, ungefähr 4,74 Prozent beträgt. Um dies ins rechte Licht zu rücken: Da 1/21 ungefähr 4,74 Prozent beträgt, sollte ein Spieler allein zufällig alle 21 Runden einen Yahtzee erwarten. In der Praxis kann es länger dauern , als ein Anfangspaar für etwas zu rollen kann verworfen werden andere, wie zum Beispiel eine gerade .

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