Mathematik

Wahrscheinlichkeiten für das Würfeln von zwei Würfeln

Ein beliebter Weg, um die Wahrscheinlichkeit zu untersuchen, ist das Würfeln. Ein Standardwürfel hat sechs Seiten, die mit kleinen Punkten mit den Nummern 1, 2, 3, 4, 5 und 6 bedruckt sind. Wenn der Würfel fair ist (und wir gehen davon aus, dass alle gleich sind), ist jedes dieser Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Da es sechs mögliche Ergebnisse gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Seite des Würfels zu erhalten, 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln, beträgt 1/6, die Wahrscheinlichkeit, eine 2 zu würfeln, beträgt 1/6 und so weiter. Aber was passiert, wenn wir einen weiteren Würfel hinzufügen? Was sind die Wahrscheinlichkeiten für zwei Würfel?

 

Würfelwurfwahrscheinlichkeit

Um die Wahrscheinlichkeit eines Würfelwurfs richtig zu bestimmen, müssen wir zwei Dinge wissen:

  • Die Größe des  Probenraums oder die Menge der insgesamt möglichen Ergebnisse
  • Wie oft tritt ein Ereignis auf?

In Wahrscheinlichkeit ist ein Ereignis eine bestimmte Teilmenge des Probenraumes. Wenn beispielsweise wie im obigen Beispiel nur ein Würfel gewürfelt wird, entspricht der Probenraum allen Werten auf dem Würfel oder dem Satz (1, 2, 3, 4, 5, 6). Da der Würfel fair ist, kommt jede Zahl im Satz nur einmal vor. Mit anderen Worten, die Häufigkeit jeder Zahl ist 1. Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass eine der Zahlen auf dem Würfel gewürfelt wird, teilen wir die Ereignisfrequenz (1) durch die Größe des Probenraums (6), was zu einer Wahrscheinlichkeit führt von 1/6.

Das Würfeln mit zwei fairen Würfeln verdoppelt die Schwierigkeit, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, mehr als. Dies liegt daran, dass das Würfeln eines Würfels unabhängig vom Würfeln eines zweiten Würfels ist. Eine Rolle hat keine Auswirkung auf die andere. Beim Umgang mit unabhängigen Ereignissen verwenden wir die Multiplikationsregel. Die Verwendung eines Baumdiagramms zeigt, dass es 6 x 6=36 mögliche Ergebnisse gibt, wenn zwei Würfel gewürfelt werden.

Angenommen, der erste Würfel, den wir werfen, wird als 1 angezeigt. Der andere Würfelwurf könnte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 sein. Nehmen wir nun an, der erste Würfel ist eine 2. Der andere Würfelwurf könnte wieder sein a 1, 2, 3, 4, 5 oder 6. Wir haben bereits 12 mögliche Ergebnisse gefunden und müssen noch alle Möglichkeiten des ersten Würfels ausschöpfen.

 

Wahrscheinlichkeitstabelle für das Würfeln mit zwei Würfeln

Die möglichen Ergebnisse des Würfelns mit zwei Würfeln sind in der folgenden Tabelle dargestellt. Es ist zu beachten, dass die Anzahl der insgesamt möglichen Ergebnisse gleich dem Probenraum des ersten Chips (6) multipliziert mit dem Probenraum des zweiten Chips (6) ist, der 36 beträgt.

 

Drei oder mehr Würfel

Das gleiche Prinzip gilt, wenn wir an  Problemen mit drei Würfeln arbeiten. Wir multiplizieren und sehen, dass es 6 x 6 x 6=216 mögliche Ergebnisse gibt. Da es umständlich wird, die wiederholte Multiplikation zu schreiben, können wir Exponenten verwenden, um die Arbeit zu vereinfachen. Für zwei Würfel gibt es 6 2  mögliche Ergebnisse. Für drei Würfel gibt es 6 3  mögliche Ergebnisse. Wenn wir n  Würfel werfen, gibt es im Allgemeinen  insgesamt 6 n  mögliche Ergebnisse.

 

Beispielprobleme

Mit diesem Wissen können wir alle möglichen Wahrscheinlichkeitsprobleme lösen:

1. Zwei sechsseitige Würfel werden gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Würfel sieben beträgt?

Der einfachste Weg, um dieses Problem zu lösen, besteht darin, die obige Tabelle zu konsultieren. Sie werden feststellen, dass es in jeder Reihe einen Würfelwurf gibt, bei dem die Summe der beiden Würfel gleich sieben ist. Da es sechs Zeilen gibt, gibt es sechs mögliche Ergebnisse, bei denen die Summe der beiden Würfel gleich sieben ist. Die Anzahl der insgesamt möglichen Ergebnisse bleibt 36. Wiederum ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit, indem wir die Ereignishäufigkeit (6) durch die Größe des Probenraums (36) dividieren, was zu einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 führt.

2. Zwei sechsseitige Würfel werden gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Würfel drei beträgt?

Im vorherigen Problem haben Sie möglicherweise bemerkt, dass die Zellen, in denen die Summe der beiden Würfel gleich sieben ist, eine Diagonale bilden. Das gleiche gilt hier, außer dass es in diesem Fall nur zwei Zellen gibt, in denen die Summe der Würfel drei beträgt. Das liegt daran, dass es nur zwei Möglichkeiten gibt, dieses Ergebnis zu erzielen. Sie müssen eine 1 und eine 2 würfeln oder Sie müssen eine 2 und eine 1 würfeln. Die Kombinationen zum Würfeln einer Summe von sieben sind viel größer (1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 usw.). Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass die Summe der beiden Würfel drei ist, können wir die Ereignisfrequenz (2) durch die Größe des Probenraums (36) dividieren, was zu einer Wahrscheinlichkeit von 1/18 führt.

3. Zwei sechsseitige Würfel werden gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahlen auf den Würfeln unterschiedlich sind?

Auch hier können wir dieses Problem leicht lösen, indem wir die obige Tabelle konsultieren. Sie werden feststellen, dass die Zellen, in denen die Zahlen auf den Würfeln gleich sind, eine Diagonale bilden. Es gibt nur sechs von ihnen, und sobald wir sie durchgestrichen haben, haben wir die verbleibenden Zellen, in denen die Zahlen auf den Würfeln unterschiedlich sind. Wir können die Anzahl der Kombinationen (30) nehmen und durch die Größe des Probenraums (36) dividieren, was eine Wahrscheinlichkeit von 5/6 ergibt.

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