Mathematik

Formel für die Normalverteilung oder Glockenkurve

 

Die Normalverteilung

Formel für die Glockenkurve. CKTaylor

Die Normalverteilung, allgemein als Glockenkurve bekannt. tritt in der gesamten Statistik auf. Es ist in diesem Fall tatsächlich ungenau, „die“ Glockenkurve zu sagen, da es unendlich viele dieser Kurventypen gibt.

Oben ist eine Formel aufgeführt, mit der jede Glockenkurve als Funktion von x ausgedrückt werden kann . Es gibt mehrere Merkmale der Formel, die näher erläutert werden sollten.

 

Merkmale der Formel

  • Es gibt unendlich viele Normalverteilungen. Eine bestimmte Normalverteilung wird vollständig durch den Mittelwert und die Standardabweichung unserer Verteilung bestimmt.
  • Der Mittelwert unserer Verteilung wird durch einen griechischen Kleinbuchstaben mu in Kleinbuchstaben angegeben. Dies ist μ geschrieben. Dieser Mittelwert bezeichnet das Zentrum unserer Verteilung.
  • Aufgrund des Vorhandenseins des Quadrats im Exponenten haben wir eine horizontale Symmetrie um die vertikale Linie  x =  μ.
  • Die Standardabweichung unserer Verteilung wird durch einen griechischen Kleinbuchstaben Sigma angegeben. Dies wird als σ geschrieben. Der Wert unserer Standardabweichung hängt mit der Streuung unserer Verteilung zusammen. Wenn der Wert von σ zunimmt, wird die Normalverteilung weiter verteilt. Insbesondere ist der Peak der Verteilung nicht so hoch und die Schwänze der Verteilung werden dicker.
  • Der griechische Buchstabe π ist die  mathematische Konstante pi. Diese Zahl ist irrational und transzendent. Es hat eine unendliche, sich nicht wiederholende Dezimalerweiterung. Diese Dezimalerweiterung beginnt mit 3.14159. Die Definition von pi ist typischerweise in der Geometrie anzutreffen. Hier lernen wir, dass pi als das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser definiert ist. Egal welchen Kreis wir konstruieren, die Berechnung dieses Verhältnisses ergibt den gleichen Wert.
  • Der Buchstabe  repräsentiert eine andere mathematische Konstante. Der Wert dieser Konstante beträgt ungefähr 2,71828 und ist auch irrational und transzendent. Diese Konstante wurde erstmals bei der Untersuchung des kontinuierlich zusammengesetzten Interesses entdeckt.
  • Der Exponent weist ein negatives Vorzeichen auf, und andere Terme im Exponenten werden quadriert. Dies bedeutet, dass der Exponent immer nicht positiv ist. Infolgedessen ist die Funktion eine zunehmende Funktion für alle  , die kleiner als der Mittelwert μ sind. Die Funktion nimmt für alle  x ab  , die größer als μ sind.
  • Es gibt eine horizontale Asymptote, die der horizontalen Linie  =0 entspricht. Dies bedeutet, dass der Graph der Funktion niemals die x-  Achse berührt  und eine Null hat. Der Graph der Funktion kommt jedoch der x-Achse willkürlich nahe.
  • Der Quadratwurzelterm ist vorhanden, um unsere Formel zu normalisieren. Dieser Begriff bedeutet, dass bei der Integration der Funktion zum Ermitteln der Fläche unter der Kurve die gesamte Fläche unter der Kurve 1 beträgt. Dieser Wert für die Gesamtfläche entspricht 100 Prozent.
  • Diese Formel wird zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten verwendet, die sich auf eine Normalverteilung beziehen. Anstatt diese Formel zu verwenden, um diese Wahrscheinlichkeiten direkt zu berechnen, können wir eine Wertetabelle verwenden, um unsere Berechnungen durchzuführen.

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