Mathematik

Was ist die normale Annäherung an die Binomialverteilung?

Zufallsvariablen mit einer Binomialverteilung sind bekanntermaßen diskret. Dies bedeutet, dass es eine zählbare Anzahl von Ergebnissen gibt, die in einer Binomialverteilung auftreten können, wobei zwischen diesen Ergebnissen getrennt wird. Beispielsweise kann eine Binomialvariable einen Wert von drei oder vier annehmen, jedoch keine Zahl zwischen drei und vier.

Mit dem diskreten Charakter einer Binomialverteilung ist es etwas überraschend, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable verwendet werden kann, um eine Binomialverteilung zu approximieren. Für viele Binomialverteilungen können wir eine Normalverteilung verwenden, um unsere Binomialwahrscheinlichkeiten zu approximieren.

Dies ist zu sehen, wenn man n Münzwürfe betrachtet und X die Anzahl der Köpfe sein lässt. In dieser Situation haben wir eine Binomialverteilung mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p=0,5. Als wir die Anzahl der Würfe zu erhöhen, sehen wir , dass die Wahrscheinlichkeit , Histogramm immer größere Ähnlichkeit mit einer Normalverteilung trägt.

 

Aussage der normalen Annäherung

Jede Normalverteilung wird vollständig durch zwei reelle Zahlen definiert. Diese Zahlen sind der Mittelwert, der das Zentrum der Verteilung misst, und die Standardabweichung. die die Streuung der Verteilung misst. Für eine gegebene Binomialsituation müssen wir bestimmen können, welche Normalverteilung verwendet werden soll.

Die Auswahl der richtigen Normalverteilung wird durch die Anzahl der Versuche n in der Binomialeinstellung und die konstante Erfolgswahrscheinlichkeit p für jeden dieser Versuche bestimmt. Die normale Näherung für unsere Binomialvariable ist ein Mittelwert von np und eine Standardabweichung von ( np (1 – p ) 0,5 .

Angenommen, wir haben jede der 100 Fragen eines Multiple-Choice-Tests erraten, bei denen jede Frage eine richtige Antwort aus vier Auswahlmöglichkeiten hatte. Die Anzahl der richtigen Antworten X ist eine binomische Zufallsvariable mit n=100 und p=0,25. Somit hat diese Zufallsvariable einen Mittelwert von 100 (0,25)=25 und eine Standardabweichung von (100 (0,25) (0,75)) 0,5=4,33. Eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von 25 und einer Standardabweichung von 4,33 wird diese Binomialverteilung approximieren.

 

Wann ist die Annäherung angemessen?

Mit etwas Mathematik kann gezeigt werden, dass es einige Bedingungen gibt, unter denen wir eine normale Annäherung an die Binomialverteilung verwenden müssen. Die Anzahl der Beobachtungen n muss groß genug sein und der Wert von p muss so sein, dass sowohl np als auch n (1 – p ) größer oder gleich 10 sind. Dies ist eine Faustregel, die sich an der statistischen Praxis orientiert. Die normale Näherung kann immer verwendet werden, aber wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind, ist die Näherung möglicherweise nicht so gut wie eine Näherung.

Wenn zum Beispiel n=100 und p=0,25 ist, ist es gerechtfertigt, die normale Näherung zu verwenden. Dies liegt daran, dass np=25 und n (1 – p )=75 sind. Da diese beiden Zahlen größer als 10 sind, kann die geeignete Normalverteilung Binomialwahrscheinlichkeiten ziemlich gut abschätzen.

 

Warum die Annäherung verwenden?

Binomialwahrscheinlichkeiten werden unter Verwendung einer sehr einfachen Formel berechnet, um den Binomialkoeffizienten zu finden. Leider kann es aufgrund der Fakultäten in der Formel sehr leicht zu Rechenschwierigkeiten mit der Binomialformel kommen. Die normale Näherung ermöglicht es uns, jedes dieser Probleme zu umgehen, indem wir mit einem vertrauten Freund zusammenarbeiten, einer Wertetabelle einer Standardnormalverteilung.

Oft ist die Bestimmung einer Wahrscheinlichkeit, dass eine binomische Zufallsvariable in einen Wertebereich fällt, mühsam zu berechnen. Dies liegt daran, dass wir, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass eine Binomialvariable X größer als 3 und kleiner als 10 ist, die Wahrscheinlichkeit ermitteln müssen, dass X gleich 4, 5, 6, 7, 8 und 9 ist, und dann alle diese Wahrscheinlichkeiten addieren zusammen. Wenn die normale Näherung verwendet werden kann, müssen wir stattdessen die Z-Scores entsprechend 3 und 10 bestimmen und dann eine Z-Score-Tabelle mit Wahrscheinlichkeiten für die Standardnormalverteilung verwenden .

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