Mathematik

Beispiel für die normale Approximation einer Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beinhaltet eine diskrete Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeiten in einer Binomialeinstellung können auf einfache Weise mithilfe der Formel für einen Binomialkoeffizienten berechnet werden. Während dies theoretisch eine einfache Berechnung ist, kann es in der Praxis ziemlich mühsam oder sogar rechnerisch unmöglich werden, Binomialwahrscheinlichkeiten zu berechnen. Diese Probleme können umgangen werden, indem stattdessen eine Normalverteilung verwendet wird, um eine Binomialverteilung zu approximieren. Wir werden sehen, wie dies zu tun ist, indem wir die Schritte einer Berechnung durchlaufen.

 

Schritte zur Verwendung der normalen Näherung

Zunächst müssen wir feststellen, ob es angemessen ist, die normale Näherung zu verwenden. Nicht jede Binomialverteilung ist gleich. Einige weisen eine ausreichende Schiefe auf. so dass wir keine normale Näherung verwenden können. Um zu überprüfen, ob die normale Näherung verwendet werden sollte, müssen wir den Wert von p , der die Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt, und n , der Anzahl der Beobachtungen unserer Binomialvariablen, betrachten .

Um die normale Näherung zu verwenden, betrachten wir sowohl np als auch n (1 – p ). Wenn diese beiden Zahlen größer oder gleich 10 sind, ist es gerechtfertigt, die normale Näherung zu verwenden. Dies ist eine allgemeine Faustregel. Je größer die Werte von np und n (1 – p ) sind, desto besser ist normalerweise die Approximation.

 

Vergleich zwischen Binomial und Normal

Wir werden eine exakte Binomialwahrscheinlichkeit mit der durch normale Näherung erhaltenen vergleichen. Wir betrachten das Werfen von 20 Münzen und möchten wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit fünf oder weniger Münzen Köpfe waren. Wenn X die Anzahl der Köpfe ist, wollen wir den Wert finden:

P ( X=0) + P ( X=1) + P ( X=2) + P ( X=3) + P ( X=4) + P ( X=5).

Die Verwendung der Binomialformel für jede dieser sechs Wahrscheinlichkeiten zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit 2,0695% beträgt. Wir werden nun sehen, wie nahe unsere normale Annäherung an diesem Wert liegt.

Wenn wir die Bedingungen überprüfen, sehen wir, dass sowohl np als auch np (1 – p ) gleich 10 sind. Dies zeigt, dass wir in diesem Fall die normale Näherung verwenden können. Wir werden eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von np=20 (0,5)=10 und einer Standardabweichung von (20 (0,5) (0,5)) 0,5=2,236 verwenden.

Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass X kleiner oder gleich 5 ist, müssen wir den z- Wert für 5 in der von uns verwendeten Normalverteilung finden. Somit ist z=(5 – 10) / 2,236=-2,236. Wenn wir uns eine Tabelle mit z- Punkten ansehen, sehen wir, dass die Wahrscheinlichkeit, dass z kleiner oder gleich -2,236 ist, 1,267% beträgt. Dies weicht von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit ab, liegt jedoch innerhalb von 0,8%.

 

Kontinuitätskorrekturfaktor

Um unsere Schätzung zu verbessern, ist es angebracht, einen Kontinuitätskorrekturfaktor einzuführen. Dies wird verwendet , weil eine Normalverteilung ist , kontinuierliche während die Binomialverteilung diskret ist. Für eine binomiale Zufallsvariable enthält ein Wahrscheinlichkeitshistogramm für X=5 einen Balken, der von 4,5 bis 5,5 reicht und bei 5 zentriert ist.

Dies bedeutet, dass für das obige Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass X für eine Binomialvariable kleiner oder gleich 5 ist, durch die Wahrscheinlichkeit geschätzt werden sollte, dass X für eine kontinuierliche Normalvariable kleiner oder gleich 5,5 ist. Somit ist z=(5,5 – 10) / 2,236=-2,013. Die Wahrscheinlichkeit, dass z

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