Mathematik

Was ist die negative Binomialverteilung?

Die negative Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung  , die mit diskreten Zufallsvariablen verwendet wird. Diese Art der Verteilung betrifft die Anzahl der Versuche, die durchgeführt werden müssen, um eine vorgegebene Anzahl von Erfolgen zu erzielen. Wie wir sehen werden, hängt die negative Binomialverteilung mit der Binomialverteilung zusammen. Zusätzlich verallgemeinert diese Verteilung die geometrische Verteilung.

 

Die Einstellung

Wir werden zunächst sowohl die Einstellung als auch die Bedingungen betrachten, die zu einer negativen Binomialverteilung führen. Viele dieser Bedingungen sind einer Binomialeinstellung sehr ähnlich.

  1. Wir haben ein Bernoulli-Experiment. Dies bedeutet, dass jeder von uns durchgeführte Versuch einen genau definierten Erfolg und Misserfolg hat und dass dies die einzigen Ergebnisse sind.
  2. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist konstant, egal wie oft wir das Experiment durchführen. Wir bezeichnen diese konstante Wahrscheinlichkeit mit einem p.
  3. Das Experiment wird für X unabhängige Versuche wiederholt , was bedeutet, dass das Ergebnis eines Versuchs keinen Einfluss auf das Ergebnis eines nachfolgenden Versuchs hat.

Diese drei Bedingungen sind identisch mit denen in einer Binomialverteilung. Der Unterschied besteht darin, dass eine binomische Zufallsvariable eine feste Anzahl von Versuchen n hat.   Die einzigen Werte von X sind 0, 1, 2, …, n, dies ist also eine endliche Verteilung.

Eine negative Binomialverteilung betrifft die Anzahl der Versuche X , die durchgeführt werden müssen, bis wir r Erfolge haben. Die Zahl r ist eine ganze Zahl, die wir wählen, bevor wir mit der Durchführung unserer Versuche beginnen. Die Zufallsvariable X ist immer noch diskret. Jetzt kann die Zufallsvariable jedoch Werte von X=r, r + 1, r + 2, … annehmen. Diese Zufallsvariable ist zählbar unendlich, da es beliebig lange dauern kann, bis wir r Erfolge erzielen .

 

Beispiel

Um eine negative Binomialverteilung besser verstehen zu können, lohnt es sich, ein Beispiel zu betrachten. Angenommen, wir werfen eine faire Münze und stellen die Frage: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei den ersten X- Münzwürfen drei Köpfe bekommen ?“ Dies ist eine Situation, die eine negative Binomialverteilung erfordert.

Die Münzwürfe haben zwei mögliche Ergebnisse, die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt konstant 1/2 und die Versuche sind unabhängig voneinander. Wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit, die ersten drei Köpfe nach X Münzwürfen zu bekommen. Wir müssen also mindestens dreimal die Münze werfen. Wir drehen dann weiter, bis der dritte Kopf erscheint.

Um Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit einer negativen Binomialverteilung zu berechnen, benötigen wir weitere Informationen. Wir müssen die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion kennen.

 

Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für eine negative Binomialverteilung kann mit ein wenig Nachdenken entwickelt werden. Jeder Versuch hat eine Erfolgswahrscheinlichkeit, die durch p gegeben ist.  Da es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt, bedeutet dies, dass die Ausfallwahrscheinlichkeit konstant ist (1 – p ).

Der r- te Erfolg muss für den x- ten und den letzten Versuch eintreten . Die vorherigen x- 1-Versuche müssen genau r-1- Erfolge enthalten. Die Anzahl der Möglichkeiten, wie dies geschehen kann, ergibt sich aus der Anzahl der Kombinationen:

C ( x – 1, r – 1)=(x – 1)! / [(R – 1)! ( X – r )!].

Darüber hinaus haben wir unabhängige Ereignisse, sodass wir unsere Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren können. Wenn wir all dies zusammenfassen, erhalten wir die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion

f ( x )=C ( x – 1, r – 1) p r (1 – p ) x – r .

 

Der Name der Distribution

Wir sind jetzt in der Lage zu verstehen, warum diese Zufallsvariable eine negative Binomialverteilung hat. Die Anzahl der Kombinationen, auf die wir oben gestoßen sind, kann durch Setzen von x – r=k unterschiedlich geschrieben werden:

(x – 1)! / [(r – 1)! ( x – r )!]=( x + k – 1)! / [(r – 1)! k !]=( r + k – 1) ( x + k – 2). . . (r + 1) (r) / k !=(-1) k (-r) (- r – 1). . (- r – (k + 1) / k!.

Hier sehen wir das Auftreten eines negativen Binomialkoeffizienten, der verwendet wird, wenn wir einen Binomialausdruck (a + b) auf eine negative Potenz erhöhen.

 

Bedeuten

Es ist wichtig, den Mittelwert einer Verteilung zu kennen, da dies eine Möglichkeit ist, das Zentrum der Verteilung zu bezeichnen. Der Mittelwert dieser Art von Zufallsvariablen ergibt sich aus ihrem erwarteten Wert und ist gleich r / p . Wir können dies sorgfältig beweisen, indem wir die Momenterzeugungsfunktion für diese Verteilung verwenden.

Die Intuition führt uns auch zu diesem Ausdruck. Angenommen, wir führen eine Reihe von Versuchen n 1 durch, bis wir r Erfolge erzielen . Und dann machen wir das noch einmal, nur diesmal dauert es n 2 Versuche. Wir setzen dies immer wieder fort, bis wir eine große Anzahl von Versuchsgruppen N=n 1 + n + haben. . . + n k. 

Jeder dieser k Versuche enthält r Erfolge, und so haben wir insgesamt kr Erfolge. Wenn groß ist, würden wir erwarten, über Np- Erfolge zu sehen. Wir setzen diese also zusammen und haben kr=Np.

Wir machen etwas Algebra und stellen fest, dass N / k=r / p ist.  Der Bruch auf der linken Seite dieser Gleichung ist die durchschnittliche Anzahl von Versuchen, die für jede unserer k Gruppen von Versuchen erforderlich sind . Mit anderen Worten, dies ist die erwartete Häufigkeit, mit der das Experiment durchgeführt wird, sodass wir insgesamt r Erfolge erzielen . Dies ist genau die Erwartung, die wir finden möchten. Wir sehen, dass dies gleich der Formel r / p ist.

 

Varianz

Die Varianz der negativen Binomialverteilung kann auch unter Verwendung der Momenterzeugungsfunktion berechnet werden. Wenn wir dies tun, sehen wir, dass die Varianz dieser Verteilung durch die folgende Formel gegeben ist:

r (1 – p ) / p 2

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Momenterzeugungsfunktion

Die Momenterzeugungsfunktion für diese Art von Zufallsvariablen ist ziemlich kompliziert. Denken Sie daran, dass die Momenterzeugungsfunktion als der erwartete Wert E [e tX ] definiert ist. Wenn wir diese Definition mit unserer Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion verwenden, haben wir:

M (t)=E [e tX ]=Σ (x – 1)! / [(R – 1)! ( X – r )!] E tX p r (1 – p ) x – r

Nach einiger Algebra wird dies M (t)=(pe t ) r [1- (1- p) e t ] -r

 

Beziehung zu anderen Distributionen

Wir haben oben gesehen, wie ähnlich die negative Binomialverteilung der Binomialverteilung ist. Zusätzlich zu diesem Zusammenhang ist die negative Binomialverteilung eine allgemeinere Version einer geometrischen Verteilung.

Eine geometrische Zufallsvariable X zählt die Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, bevor der erste Erfolg eintritt. Es ist leicht zu erkennen, dass dies genau die negative Binomialverteilung ist, jedoch mit r gleich eins.

Andere Formulierungen der negativen Binomialverteilung existieren. Einige Lehrbücher definieren X als die Anzahl der Versuche, bis r Fehler auftreten.

 

Beispiel Problem

Wir werden uns ein Beispielproblem ansehen, um zu sehen, wie mit der negativen Binomialverteilung gearbeitet wird. Angenommen, ein Basketballspieler ist zu 80% Freiwurfschütze. Nehmen Sie weiter an, dass ein Freiwurf unabhängig vom nächsten ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass für diesen Spieler der achte Korb beim zehnten Freiwurf gemacht wird?

Wir sehen, dass wir eine Einstellung für eine negative Binomialverteilung haben. Die konstante Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt 0,8, und die Misserfolgswahrscheinlichkeit beträgt 0,2. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit von X=10 bestimmen, wenn r=8 ist.

Wir fügen diese Werte in unsere Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ein:

f (10)=C (10 -1, 8 – 1) (0.8) 8 (0,2) 2=36 (0,8) 8 (0,2) 2 , was etwa 24% beträgt.

Wir könnten dann fragen, wie viele Freiwürfe durchschnittlich geschossen werden, bevor dieser Spieler acht davon macht. Da der erwartete Wert 8 / 0,8=10 ist, ist dies die Anzahl der Aufnahmen.

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