Mathematik

Die Bedeutung des gegenseitigen Ausschlusses in der Statistik

Höchstwahrscheinlich schließen sich zwei Ereignisse genau dann gegenseitig aus, wenn die Ereignisse keine gemeinsamen Ergebnisse haben. Wenn wir die Ereignisse als Mengen betrachten, würden wir sagen, dass sich zwei Ereignisse gegenseitig ausschließen, wenn ihre Schnittmenge die leere Menge ist. Wir könnten bezeichnen, dass sich die Ereignisse A und B durch die Formel A events B=Ø gegenseitig ausschließen . Wie bei vielen Konzepten aus der Wahrscheinlichkeit helfen einige Beispiele, diese Definition zu verstehen.

 

Würfeln

Angenommen, wir werfen zwei sechsseitige Würfel und addieren die Anzahl der Punkte, die oben auf den Würfeln angezeigt werden. Das Ereignis, das aus „die Summe ist gerade“ besteht, schließt sich gegenseitig aus dem Ereignis „die Summe ist ungerade“ aus. Der Grund dafür ist, dass es unmöglich ist, dass eine Zahl gerade und ungerade ist.

Jetzt werden wir das gleiche Wahrscheinlichkeitsexperiment durchführen, bei dem zwei Würfel gewürfelt und die gezeigten Zahlen addiert werden. Dieses Mal betrachten wir das Ereignis, das aus einer ungeraden Summe besteht, und das Ereignis, das aus einer Summe von mehr als neun besteht. Diese beiden Ereignisse schließen sich nicht gegenseitig aus.

Der Grund dafür ist offensichtlich, wenn wir die Ergebnisse der Ereignisse untersuchen. Das erste Ereignis hat Ergebnisse von 3, 5, 7, 9 und 11. Das zweite Ereignis hat Ergebnisse von 10, 11 und 12. Da sich 11 in beiden Fällen befinden, schließen sich die Ereignisse nicht gegenseitig aus.

 

Karten ziehen

Wir veranschaulichen weiter mit einem anderen Beispiel. Angenommen, wir ziehen eine Karte aus einem Standardstapel von 52 Karten. Das Zeichnen eines Herzens schließt sich nicht gegenseitig aus, wenn ein König gezeichnet wird. Dies liegt daran, dass bei beiden Ereignissen eine Karte (der König der Herzen) auftaucht.

 

Warum spielt es eine Rolle

Es gibt Zeiten, in denen es sehr wichtig ist festzustellen, ob sich zwei Ereignisse gegenseitig ausschließen oder nicht. Zu wissen, ob sich zwei Ereignisse gegenseitig ausschließen, beeinflusst die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass das eine oder das andere auftritt.

Gehen Sie zurück zum Kartenbeispiel. Wenn wir eine Karte aus einem Standard-Kartenspiel mit 52 Karten ziehen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir ein Herz oder einen König gezogen haben?

Teilen Sie dies zunächst in einzelne Ereignisse auf. Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass wir ein Herz gezogen haben, zählen wir zuerst die Anzahl der Herzen im Deck als 13 und dividieren dann durch die Gesamtzahl der Karten. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Herzens 13/52 beträgt.

Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass wir einen König gezogen haben, zählen wir zunächst die Gesamtzahl der Könige, was zu vier führt, und dividieren dann durch die Gesamtzahl der Karten, die 52 beträgt. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen König gezogen haben, beträgt 4/52 .

Das Problem besteht nun darin, die Wahrscheinlichkeit zu finden, entweder einen König oder ein Herz zu zeichnen. Hier müssen wir vorsichtig sein. Es ist sehr verlockend, einfach die Wahrscheinlichkeiten von 13/52 und 4/52 zu addieren. Dies wäre nicht korrekt, da sich die beiden Ereignisse nicht gegenseitig ausschließen. Der König der Herzen wurde in diesen Wahrscheinlichkeiten zweimal gezählt. Um der Doppelzählung entgegenzuwirken, müssen wir die Wahrscheinlichkeit, einen König und ein Herz zu zeichnen, von 1/52 abziehen. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass wir entweder einen König oder ein Herz gezeichnet haben, 16/52.

 

Andere Verwendungen von sich gegenseitig ausschließend

Eine als Additionsregel bekannte Formel bietet eine alternative Möglichkeit, ein Problem wie das oben beschriebene zu lösen. Die Additionsregel bezieht sich tatsächlich auf einige Formeln, die eng miteinander verwandt sind. Wir müssen wissen, ob sich unsere Ereignisse gegenseitig ausschließen, um zu wissen, welche Additionsformel geeignet ist.

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