Mathematik

Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

Es ist wichtig zu wissen, wie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet wird. Bestimmte Arten von Ereignissen mit hoher Wahrscheinlichkeit werden als unabhängig bezeichnet. Wenn wir zwei unabhängige Ereignisse haben, fragen wir manchmal: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Ereignisse auftreten?“ In dieser Situation können wir einfach unsere beiden Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren.

Wir werden sehen, wie die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse verwendet wird. Nachdem wir die Grundlagen durchgearbeitet haben, werden wir die Details einiger Berechnungen sehen.

 

Definition unabhängiger Ereignisse

Wir beginnen mit einer Definition unabhängiger Ereignisse. In Wahrscheinlichkeit. sind zwei Ereignisse unabhängig davon, ob das Ergebnis eines Ereignisses nicht das Ergebnis des zweiten Ereignisses nicht beeinflusst.

Ein gutes Beispiel für ein Paar unabhängiger Ereignisse ist, wenn wir einen Würfel werfen und dann eine Münze werfen. Die auf dem Würfel angezeigte Zahl hat keinen Einfluss auf die geworfene Münze. Daher sind diese beiden Ereignisse unabhängig.

Ein Beispiel für ein Paar von Ereignissen, die nicht unabhängig sind, wäre das Geschlecht jedes Babys in einer Gruppe von Zwillingen. Wenn die Zwillinge identisch sind, sind beide männlich oder beide weiblich.

 

Erklärung der Multiplikationsregel

Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse bezieht die Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse auf die Wahrscheinlichkeit, dass beide auftreten. Um die Regel verwenden zu können, müssen die Wahrscheinlichkeiten jedes der unabhängigen Ereignisse vorliegen. Angesichts dieser Ereignisse gibt die Multiplikationsregel an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse auftreten, durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses ermittelt wird.

 

Formel für die Multiplikationsregel

Die Multiplikationsregel ist viel einfacher anzugeben und zu bearbeiten, wenn wir die mathematische Notation verwenden.

Bezeichnen Sie die Ereignisse A und B und die Wahrscheinlichkeiten von jedem mit P (A) und P (B) . Wenn A und unabhängige Ereignisse sind, dann:

P (A und B)=P (A) x P (B)

Einige Versionen dieser Formel verwenden noch mehr Symbole. Anstelle des Wortes „und“ können wir stattdessen das Schnittpunktsymbol verwenden: ∩. Manchmal wird diese Formel als Definition unabhängiger Ereignisse verwendet. Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn P (A und B)=P (A) x P (B) .

 

Beispiel 1 der Verwendung der Multiplikationsregel

Wir werden anhand einiger Beispiele sehen, wie die Multiplikationsregel verwendet wird. Nehmen wir zuerst an, wir würfeln mit einem sechsseitigen Würfel und werfen dann eine Münze. Diese beiden Ereignisse sind unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln, beträgt 1/6. Die Wahrscheinlichkeit eines Kopfes beträgt 1/2. Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln und einen Kopf zu bekommen, beträgt 1/6 x 1/2=1/12.

Wenn wir geneigt wären, diesem Ergebnis skeptisch gegenüberzustehen, ist dieses Beispiel klein genug, um alle Ergebnisse aufzulisten: {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Wir sehen, dass es zwölf Ergebnisse gibt, die alle gleich wahrscheinlich auftreten. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit von 1 und einem Kopf 1/12. Die Multiplikationsregel war viel effizienter, da wir nicht den gesamten Probenraum auflisten mussten.

 

Beispiel 2 der Verwendung der Multiplikationsregel

Nehmen wir für das zweite Beispiel an, wir ziehen eine Karte aus einem Standardstapel. ersetzen diese Karte, mischen das Deck und ziehen dann erneut. Wir fragen dann, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass beide Karten Könige sind. Da wir mit Ersetzung gezeichnet haben , sind diese Ereignisse unabhängig und es gilt die Multiplikationsregel.

Die Wahrscheinlichkeit, einen König für die erste Karte zu ziehen, beträgt 1/13. Die Wahrscheinlichkeit, bei der zweiten Ziehung einen König zu ziehen, beträgt 1/13. Der Grund dafür ist, dass wir den König ersetzen, den wir vom ersten Mal an gezeichnet haben. Da diese Ereignisse unabhängig sind, verwenden wir die Multiplikationsregel, um zu sehen, dass die Wahrscheinlichkeit, zwei Könige zu ziehen, durch das folgende Produkt 1/13 x 1/13=1/169 gegeben ist.

Wenn wir den König nicht ersetzen würden, hätten wir eine andere Situation, in der die Ereignisse nicht unabhängig wären. Die Wahrscheinlichkeit, einen König auf die zweite Karte zu ziehen, wird durch das Ergebnis der ersten Karte beeinflusst.

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