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Trägheitsmomentformel und andere physikalische Formeln

Das Trägheitsmoment eines Objekts ist ein numerischer Wert, der für jeden starren Körper berechnet werden kann, der eine physikalische Drehung um eine feste Achse erfährt. Es basiert nicht nur auf der physischen Form des Objekts und seiner Massenverteilung, sondern auch auf der spezifischen Konfiguration, wie sich das Objekt dreht. Das gleiche Objekt, das sich auf unterschiedliche Weise dreht, hätte also in jeder Situation ein anderes Trägheitsmoment.

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Allgemeine Formel

Die allgemeine Formel zur Ableitung des Trägheitsmoments. Andrew Zimmerman Jones

Die allgemeine Formel repräsentiert das grundlegendste konzeptionelle Verständnis des Trägheitsmoments. Grundsätzlich kann für jedes rotierende Objekt das Trägheitsmoment berechnet werden, indem der Abstand jedes Partikels von der Rotationsachse ( r in der Gleichung) genommen, dieser Wert quadriert (das ist der Term r 2 ) und mit der Masse multipliziert wird dieses Teilchens. Sie tun dies für alle Partikel, aus denen das rotierende Objekt besteht, und addieren dann diese Werte. Dies gibt den Trägheitsmoment an.

Die Konsequenz dieser Formel ist, dass dasselbe Objekt einen unterschiedlichen Trägheitsmomentwert erhält, je nachdem, wie es sich dreht. Eine neue Rotationsachse hat eine andere Formel, auch wenn die physische Form des Objekts gleich bleibt.

Diese Formel ist der „Brute Force“ -Ansatz zur Berechnung des Trägheitsmoments. Die anderen bereitgestellten Formeln sind normalerweise nützlicher und stellen die häufigsten Situationen dar, in die Physiker geraten.

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Integralformel

Die allgemeine Formel ist nützlich, wenn das Objekt als eine Sammlung diskreter Punkte behandelt werden kann, die addiert werden können. Für ein ausgefeilteres Objekt kann es jedoch erforderlich sein, einen Kalkül anzuwenden , um das Integral über ein gesamtes Volumen zu übernehmen. Die Variable r ist der Radius Vektor von dem Punkt auf der Drehachse. Die Formel p ( r ) ist die Massendichtefunktion an jedem Punkt r:

I-sub-P ist gleich der Summe von i von 1 bis N der Größe m-sub-i mal r-sub-i im Quadrat.

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Feste Kugel

Eine feste Kugel, die sich mit der Masse M und dem Radius R um eine Achse dreht, die durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft , hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

I=(2/5) MR 2

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Hohle dünnwandige Kugel

Eine Hohlkugel mit einer dünnen, vernachlässigbaren Wand, die sich um eine Achse dreht, die durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft, mit der Masse M und dem Radius R , hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

I=(2/3) MR 2

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Vollzylinder

Ein Vollzylinder, der sich mit der Masse M und dem Radius R um eine Achse dreht, die durch die Mitte des Zylinders verläuft , hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

I=(1/2) MR 2

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Hohldünnwandiger Zylinder

Ein Hohlzylinder mit einer dünnen, vernachlässigbaren Wand, die sich um eine Achse dreht, die durch die Mitte des Zylinders verläuft, mit der Masse M und dem Radius R , hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

I= MR 2

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Hohlzylinder

Ein Hohlzylinder, der sich um eine Achse dreht, die durch die Mitte des Zylinders verläuft, mit der Masse M , dem Innenradius R 1 und dem Außenradius R 2 , hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

I=(1/2) M ( R 1 2 + R 2 2 )

Hinweis: Wenn Sie diese Formel nehmen und R 1=R 2=R setzen (oder geeigneterweise die mathematische Grenze nehmen, wenn sich R 1 und R 2 einem gemeinsamen Radius R nähern ), erhalten Sie die Formel für das Trägheitsmoment eines hohlen dünnwandigen Zylinders.

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Rechteckige Platte, Achse durch Mitte

Eine dünne rechteckige Platte, die sich um eine Achse dreht, die senkrecht zur Mitte der Platte verläuft, mit der Masse M und den Seitenlängen a und b , hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

I=(1/12) M ( a 2 + b 2 )

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Rechteckige Platte, Achse entlang der Kante

Eine dünne rechteckige Platte, di
e sich um eine Achse entlang einer Kante der Platte dreht, mit der Masse M und den Seitenlängen a und b , wobei a der Abstand senkrecht zur Drehachse ist, hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

I=(1/3) Ma 2

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Schlanke Stange, Achse durch Mitte

Ein schlanker Stab, der sich um eine Achse dreht, die durch die Mitte des Stabes (senkrecht zu seiner Länge) verläuft, mit der Masse M und der Länge L , hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

I=(1/12) ML 2

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Schlanke Stange, Achse durch ein Ende

Eine schlanke Stange, die sich um eine Achse dreht, die durch das Ende der Stange (senkrecht zu ihrer Länge) verläuft, mit der Masse M und der Länge L , hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

I=(1/3) ML 2

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