Mathematik

Momentgenerierende Funktionen zufälliger Variablen

Eine Möglichkeit, den Mittelwert und die Varianz einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu berechnen, besteht darin, die erwarteten Werte der Zufallsvariablen X und X 2 zu ermitteln . Wir verwenden die Notation E ( X ) und E ( X 2 ), um diese erwarteten Werte zu bezeichnen. Im Allgemeinen ist es schwierig, E ( X ) und E ( X 2 ) direkt zu berechnen . Um diese Schwierigkeit zu umgehen, verwenden wir eine fortgeschrittenere mathematische Theorie und Berechnung. Das Endergebnis erleichtert unsere Berechnungen.

Die Strategie für dieses Problem besteht darin, eine neue Funktion einer neuen Variablen t zu definieren , die als Momenterzeugungsfunktion bezeichnet wird. Diese Funktion ermöglicht es uns, Momente zu berechnen, indem wir einfach Ableitungen nehmen.

 

Annahmen

Bevor wir die Momenterzeugungsfunktion definieren, setzen wir zunächst die Bühne mit Notation und Definitionen. Wir lassen X eine diskrete Zufallsvariable sein. Diese Zufallsvariable hat die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion f ( x ). Der Probenraum, mit dem wir arbeiten, wird mit S bezeichnet .

Anstatt den erwarteten Wert von X zu berechnen, möchten wir den erwarteten Wert einer Exponentialfunktion in Bezug auf X berechnen . Wenn es eine positive reelle Zahl r gibt, so dass E ( e tX ) existiert und für alle t im Intervall [- r , r ] endlich ist , können wir die Momenterzeugungsfunktion von X definieren .

 

Definition

Die Momenterzeugungsfunktion ist der erwartete Wert der obigen Exponentialfunktion. Mit anderen Worten, wir sagen, dass die Momenterzeugungsfunktion von X gegeben ist durch:

M ( t )=E ( e tX )

Dieser erwartete Wert ist die Formel Σ e tx f ( x ), wobei die Summation über alle x im Probenraum S übernommen wird . Dies kann eine endliche oder unendliche Summe sein, abhängig vom verwendeten Probenraum.

 

Eigenschaften

Die Momenterzeugungsfunktion verfügt über viele Funktionen, die mit anderen Themen der Wahrscheinlichkeits- und mathematischen Statistik in Verbindung stehen. Einige der wichtigsten Funktionen sind:

  • Der Koeffizient von e tb ist die Wahrscheinlichkeit, dass X=b ist .
  • Momenterzeugungsfunktionen besitzen eine Einzigartigkeitseigenschaft. Wenn die Momenterzeugungsfunktionen für zwei Zufallsvariablen übereinstimmen, müssen die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen gleich sein. Mit anderen Worten beschreiben die Zufallsvariablen die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung.
  • Momenterzeugungsfunktionen können verwendet werden, um Momente von X zu berechnen .

 

Momente berechnen

Das letzte Element in der obigen Liste erläutert den Namen der Funktionen zur Momentgenerierung und deren Nützlichkeit. Einige fortgeschrittene Mathematiker sagen, dass unter den von uns festgelegten Bedingungen die Ableitung einer beliebigen Ordnung der Funktion M ( t ) für t=0 existiert. Außerdem können wir in diesem Fall die Reihenfolge der Summierung und Differenzierung in Bezug auf ändern t , um die folgenden Formeln zu erhalten (alle Summierungen liegen über den Werten von x im Probenraum S ):

  • M ‚( t )=Σ xe tx f ( x )
  • M “ ( t )=Σ x 2 e tx f ( x )
  • M “ ‚( t )=Σ x 3 e tx f ( x )
  • M (n) ‚( t )=Σ x n e tx f ( x )

Wenn wir in den obigen Formeln t=0 setzen, wird der e tx- Term zu e 0=1. Somit erhalten wir Formeln für die Momente der Zufallsvariablen X :

  • M ‚(0)=E ( X )
  • M “ (0)=E ( X 2 )
  • M “ ‚(0)=E ( X 3 )
  • M ( n ) (0)=E ( X n )

Dies bedeutet, dass wenn die Momenterzeugungsfunktion für eine bestimmte Zufallsvariable existiert, wir ihren Mittelwert und ihre Varianz in Form von Ableitungen der Momenterzeugungsfunktion finden können. Der Mittelwert ist M ‚(0) und die Varianz ist M ‚ ‚(0) – [ M ‚ (0)] 2 .

 

Zusammenfassung

Zusammenfassend mussten wir uns in eine ziemlich leistungsstarke Mathematik vertiefen, so dass einige Dinge beschönigt wurden. Obwohl wir für das oben Gesagte Kalkül verwenden müssen, ist unsere mathematische Arbeit am Ende in der Regel einfacher als die Berechnung der Momente direkt aus der Definition.

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