Mathematik

Momenterzeugungsfunktion für die Binomialverteilung

Der Mittelwert und die Varianz einer Zufallsvariablen X mit einer Binomialwahrscheinlichkeitsverteilung können schwierig direkt zu berechnen sein. Obwohl klar sein kann, was bei der Verwendung der Definition des erwarteten Werts von X und X 2 zu tun ist , ist die tatsächliche Ausführung dieser Schritte ein schwieriges Jonglieren von Algebra und Summationen. Eine alternative Möglichkeit, den Mittelwert und die Varianz einer Binomialverteilung zu bestimmen, besteht darin, die Momenterzeugungsfunktion für X zu verwenden .

 

Binomiale Zufallsvariable

Beginnen Sie mit der Zufallsvariablen X und beschreiben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung genauer. Führen Sie n unabhängige Bernoulli-Versuche durch, von denen jeder die Erfolgswahrscheinlichkeit p und die Misserfolgswahrscheinlichkeit 1 – p aufweist . Somit ist die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion

f ( x )=C ( n , x ) p x (1 – p ) nx

Hier bezeichnet der Term C ( n , x ) die Anzahl der Kombinationen von n Elementen, die x gleichzeitig genommen werden, und x kann die Werte 0, 1, 2, 3 ,. . ., n .

 

Momenterzeugungsfunktion

Verwenden Sie diese Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion, um die Momenterzeugungsfunktion von X zu erhalten :

M ( t )=Σ x=0 n e tx C ( n , x )>) p x (1 – p ) nx .

Es wird klar, dass Sie die Terme mit dem Exponenten von x kombinieren können :

M ( t )=Σ x=0 n ( pe t ) x C ( n , x )>) (1 – p ) nx .

Darüber hinaus lautet der obige Ausdruck unter Verwendung der Binomialformel einfach:

M ( t )=[(1 – p ) + pe t ] n .

 

Berechnung des Mittelwerts

Um den Mittelwert und die Varianz zu ermitteln, müssen Sie sowohl M ‚(0) als auch M ‚ ‚(0) kennen. Beginnen Sie mit der Berechnung Ihrer Derivate und bewerten Sie sie dann bei t=0.

Sie werden sehen, dass die erste Ableitung der Momenterzeugungsfunktion ist:

M ‚( t )=n ( pe t ) [(1 – p ) + pe t ] n – 1 .

Daraus können Sie den Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen. M (0)=n ( pe 0 ) [(1 – p ) + pe 0 ] n – 1=np . Dies entspricht dem Ausdruck, den wir direkt aus der Definition des Mittelwerts erhalten haben.

 

Berechnung der Varianz

Die Berechnung der Varianz erfolgt auf ähnliche Weise. Differenzieren Sie zuerst die Momenterzeugungsfunktion erneut, und dann bewerten wir diese Ableitung bei t=0. Hier sehen Sie das

M “ ( t )=n ( n – 1) ( pe t ) 2 [(1 – p ) + pe t ] n – 2 + n ( pe t ) [(1 – p ) + pe t ] n – 1 .

Um die Varianz dieser Zufallsvariablen zu berechnen, müssen Sie M “ ( t ) finden. Hier haben Sie M “ (0)=n ( n – 1) p 2 + np . Die Varianz σ 2 Ihrer Verteilung ist

σ 2=M “ (0) – [ M ‚(0)] 2=n ( n – 1) p 2 + np – ( np ) 2=np (1 – p ).

Obwohl diese Methode etwas kompliziert ist, ist sie nicht so kompliziert wie die Berechnung des Mittelwerts und der Varianz direkt aus der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion.

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