Wissenschaft

Mathematische Eigenschaften von Wellen

Physikalische Wellen oder mechanische Wellen bilden sich durch die Schwingung eines Mediums, sei es eine Schnur, die Erdkruste oder Partikel von Gasen und Flüssigkeiten. Wellen haben mathematische Eigenschaften, die analysiert werden können, um die Bewegung der Welle zu verstehen. In diesem Artikel werden diese allgemeinen Welleneigenschaften vorgestellt und nicht, wie sie in bestimmten Situationen in der Physik angewendet werden.

 

Quer- und Längswellen

Es gibt zwei Arten von mechanischen Wellen.

A ist derart, dass die Verschiebungen des Mediums senkrecht (quer) zur Bewegungsrichtung der Welle entlang des Mediums sind. Das Vibrieren einer Saite in periodischer Bewegung, so dass sich die Wellen entlang der Saite bewegen, ist eine Transversalwelle, ebenso wie Wellen im Ozean.

Eine Longitudinalwelle ist derart, dass die Verschiebungen des Mediums in derselben Richtung wie die Welle selbst hin und her gehen. Ein Beispiel für eine Longitudinalwelle sind Schallwellen, bei denen die Luftpartikel in Fahrtrichtung entlanggeschoben werden.

Obwohl sich die in diesem Artikel diskutierten Wellen auf die Bewegung in einem Medium beziehen, kann die hier vorgestellte Mathematik verwendet werden, um die Eigenschaften nichtmechanischer Wellen zu analysieren. Elektromagnetische Strahlung kann sich beispielsweise durch den leeren Raum bewegen, hat jedoch dieselben mathematischen Eigenschaften wie andere Wellen. Zum Beispiel ist der Doppler-Effekt für Schallwellen bekannt, aber es gibt einen ähnlichen Doppler-Effekt für Lichtwellen. und sie basieren auf denselben mathematischen Prinzipien.

 

Was verursacht Wellen?

  1. Wellen können als Störung im Medium um einen Gleichgewichtszustand angesehen werden, der im Allgemeinen in Ruhe ist. Die Energie dieser Störung verursacht die Wellenbewegung. Ein Wasserbecken befindet sich im Gleichgewicht, wenn keine Wellen vorhanden sind. Sobald jedoch ein Stein hineingeworfen wird, wird das Gleichgewicht der Partikel gestört und die Wellenbewegung beginnt.
  2. Die Störung der Welle bewegt sich oder breitet sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit aus, die als Wellengeschwindigkeit ( v ) bezeichnet wird.
  3. Wellen transportieren Energie, aber keine Rolle. Das Medium selbst reist nicht; Die einzelnen Teilchen bewegen sich um die Gleichgewichtsposition hin und her oder auf und ab.

 

Die Wellenfunktion

Um die Wellenbewegung mathematisch zu beschreiben, verweisen wir auf das Konzept einer Wellenfunktion , die jederzeit die Position eines Teilchens im Medium beschreibt. Die grundlegendste Wellenfunktion ist die Sinuswelle oder Sinuswelle, die eine periodische Welle ist (dh eine Welle mit sich wiederholender Bewegung).

Es ist wichtig zu beachten, dass die Wellenfunktion nicht die physikalische Welle darstellt, sondern vielmehr ein Diagramm der Verschiebung um die Gleichgewichtsposition. Dies kann ein verwirrendes Konzept sein, aber das Nützliche ist, dass wir eine Sinuswelle verwenden können, um die meisten periodischen Bewegungen darzustellen, z. B. das Bewegen in einem Kreis oder das Schwingen eines Pendels, die nicht unbedingt wellenartig aussehen, wenn Sie die tatsächliche betrachten Bewegung.

 

Eigenschaften der Wellenfunktion

    • Wellengeschwindigkeit ( v ) – die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung
    • Amplitude ( A ) – die maximale Größe der Verschiebung aus dem Gleichgewicht in SI-Einheiten von Metern. Im Allgemeinen ist es der Abstand vom Gleichgewichtsmittelpunkt der Welle zu ihrer maximalen Verschiebung oder die Hälfte der Gesamtverschiebung der Welle.
    • Periode ( T ) – ist die Zeit für einen Wellenzyklus (zwei Impulse oder von Scheitel zu Scheitel oder von Talsohle zu Talsohle) in SI-Einheiten von Sekunden (obwohl dies als „Sekunden pro Zyklus“ bezeichnet werden kann).
    • Frequenz ( f ) – die Anzahl der Zyklen in einer Zeiteinheit. Die SI-Einheit der Frequenz ist Hertz (Hz) und

      1 Hz=1 Zyklus / s=1 s-1

    • Winkelfrequenz ( ω ) – ist das 2 π- fache der Frequenz in SI-Einheiten des Bogenmaßes pro Sekunde.
    • Wellenlänge ( λ ) – der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten an entsprechenden Positionen bei aufeinanderfolgenden Wiederholungen in der Welle, also (zum Beispiel) von einem Scheitel oder Trog zum nächsten, in SI-Einheiten  von Metern.
    • Wellenzahl ( k ) – auch Ausbreitungskonstante genannt . Diese nützliche Größe ist definiert als 2 π geteilt durch die Wellenlänge, sodass die SI-Einheiten Bogenmaß pro Meter sind.

 

  • Puls – eine halbe Wellenlänge vom Gleichgewicht zurück

Einige nützliche Gleichungen bei der Definition der obigen Größen sind:

v= λ / T= λf

ω=2 π f=2 π / T.

T=1 / f=2 π / ω

k=2 π / ω

ω=vk

Die vertikale Position eines Punktes auf der Welle y kann als Funktion der horizontalen Position x und der Zeit t ermittelt werden , wenn wir sie betrachten. Wir danken den freundlichen Mathematikern, die diese Arbeit für uns erledigt haben, und erhalten die folgenden nützlichen Gleichungen, um die Wellenbewegung zu beschreiben:

y ( x, t )=A sin & ohgr; ( tx / v )=A sin 2 & pgr; f ( tx / v )

y ( x, t )=A sin 2 π ( t / Tx / v )

y ( x, t )=A sin ( ωtkx )

 

Die Wellengleichung

Ein letztes Merkmal der Wellenfunktion ist, dass das Anwenden von Kalkül auf die zweite Ableitung die Wellengleichung ergibt , die ein faszinierendes und manchmal nützliches Produkt ist (für das wir den Mathematikern noch einmal danken und es akzeptieren werden, ohne es zu beweisen):

d 2 y / dx 2=(1 / v 2 ) d 2 y / dt 2

Die zweite Ableitung von y in Bezug auf x entspricht der zweiten Ableitung von y in Bezug auf t geteilt durch das Quadrat der Wellengeschwindigkeit. Der Hauptnutzen dieser Gleichung besteht darin, dass wir wissen , wann immer sie auftritt, dass die Funktion y als Welle mit der Wellengeschwindigkeit v wirkt und daher die Situation unter Verwendung der Wellenfunktion beschrieben werden kann .

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