Mathematik

Was ist Markovs Ungleichung?

Markovs Ungleichung ist ein hilfreiches Ergebnis der Wahrscheinlichkeit, das Informationen über eine Wahrscheinlichkeitsverteilung liefert . Das Bemerkenswerte daran ist, dass die Ungleichung für jede Verteilung mit positiven Werten gilt, unabhängig davon, welche anderen Merkmale sie aufweist. Markovs Ungleichung gibt eine Obergrenze für den Prozentsatz der Verteilung an, der über einem bestimmten Wert liegt.

 

Erklärung der Ungleichung von Markov

Markovs Ungleichung besagt, dass für eine positive Zufallsvariable X und jede positive reelle Zahl a die Wahrscheinlichkeit, dass X größer oder gleich a ist, kleiner oder gleich dem erwarteten Wert von X geteilt durch a ist .

Die obige Beschreibung kann unter Verwendung der mathematischen Notation prägnanter angegeben werden. In Symbolen schreiben wir Markovs Ungleichung wie folgt:

P ( Xa ) ≤ E ( X ) / a

 

Illustration der Ungleichung

Nehmen wir zur Veranschaulichung der Ungleichung an, wir haben eine Verteilung mit nichtnegativen Werten (z. B. eine Chi-Quadrat-Verteilung ). Wenn diese Zufallsvariable X den erwarteten Wert 3 hat, werden wir die Wahrscheinlichkeiten für einige Werte von a untersuchen .

  • Für a=10 sagt Markovs Ungleichung, dass P ( X ≥ 10) ≤ 3/10=30% ist. Es besteht also eine 30% ige Wahrscheinlichkeit, dass X größer als 10 ist.
  • Für a=30 sagt Markovs Ungleichung, dass P ( X ≥ 30) ≤ 3/30=10% ist. Es besteht also eine Wahrscheinlichkeit von 10%, dass X größer als 30 ist.
  • Für a=3 sagt Markovs Ungleichung, dass P ( X ≥ 3) ≤ 3/3=1. Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von 1=100% sind sicher. Dies besagt also, dass ein Wert der Zufallsvariablen größer oder gleich 3 ist. Dies sollte nicht zu überraschend sein. Wenn alle Werte von X kleiner als 3 wären, wäre der erwartete Wert auch kleiner als 3.
  • Wenn der Wert von a zunimmt, wird der Quotient E ( X ) / a immer kleiner. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit sehr gering ist, dass X sehr, sehr groß ist. Wiederum würden wir mit einem erwarteten Wert von 3 nicht erwarten, dass es einen Großteil der Verteilung mit sehr großen Werten gibt.

 

Verwendung der Ungleichung

Wenn wir mehr über die Verteilung wissen, mit der wir arbeiten, können wir normalerweise Markovs Ungleichung verbessern. Der Wert der Verwendung ist, dass es für jede Verteilung mit nichtnegativen Werten gilt.

Zum Beispiel, wenn wir die mittlere Größe der Schüler einer Grundschule kennen. Markovs Ungleichung sagt uns, dass nicht mehr als ein Sechstel der Schüler eine Größe haben kann, die größer als das Sechsfache der mittleren Größe ist.

Die andere Hauptverwendung von Markovs Ungleichung besteht darin, Chebyshevs Ungleichung zu beweisen . Diese Tatsache führt dazu, dass der Name „Chebyshevs Ungleichung“ auch auf Markovs Ungleichung angewendet wird. Die Verwirrung bei der Benennung der Ungleichungen ist auch auf historische Umstände zurückzuführen. Andrey Markov war der Schüler von Pafnuty Chebyshev. Chebyshevs Arbeit enthält die Ungleichung, die Markov zugeschrieben wird.

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