Mathematik

Fehlergrenze Formel für einen Bevölkerungsdurchschnitt

Die nachstehende Formel verwendet wird , um die Fehlerspanne für einen berechnen  Konfidenzintervall  einer Population  Mittelwert. Die Bedingungen, die zur Verwendung dieser Formel erforderlich sind, sind, dass wir eine Stichprobe aus einer normalverteilten Population haben müssen   und die Standardabweichung der Population kennen. Das Symbol  E  bezeichnet die Fehlerquote des unbekannten Populationsmittelwerts. Es folgt eine Erklärung für jede der Variablen.

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Vertrauensniveau

Das Symbol α ist der griechische Buchstabe Alpha. Dies hängt mit dem Vertrauensniveau zusammen, mit dem wir für unser Konfidenzintervall arbeiten. Jeder Prozentsatz von weniger als 100% ist für ein Vertrauensniveau möglich. Um jedoch aussagekräftige Ergebnisse zu erzielen, müssen Zahlen nahe 100% verwendet werden. Übliche Vertrauensniveaus sind 90%, 95% und 99%.

Der Wert von α wird bestimmt, indem unser Vertrauensniveau von eins subtrahiert und das Ergebnis als Dezimalzahl geschrieben wird. Ein Konfidenzniveau von 95% würde also einem Wert von α=1 – 0,95=0,05 entsprechen.

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Kritischer Wert

Der kritische Wert für unsere Fehlerquote-Formel wird mit  z α / 2 bezeichnet. Dies ist der Punkt  z * in der  Standardnormalverteilungstabelle  der  z- Punkte, für die eine Fläche von α / 2 über  z * liegt. Alternativ ist dies der Punkt auf der Glockenkurve, für den eine Fläche von 1 – α zwischen – z * und  z * liegt.

Bei einem Konfidenzniveau von 95% haben wir einen Wert von α=0,05. Der  z- Wert  z *=1,96 hat rechts eine Fläche von 0,05 / 2=0,025. Es ist auch wahr, dass es eine Gesamtfläche von 0,95 zwischen den Z-Scores von -1,96 bis 1,96 gibt.

Das Folgende sind kritische Werte für gemeinsame Vertrauensniveaus. Andere Vertrauensniveaus können durch den oben beschriebenen Prozess bestimmt werden.

  • Ein Konfidenzniveau von 90% hat α=0,10 und einen kritischen Wert von  z α / 2=1,64.
  • Ein Konfidenzniveau von 95% hat α=0,05 und einen kritischen Wert von  z α / 2=1,96.
  • Ein Konfidenzniveau von 99% hat α=0,01 und einen kritischen Wert von  z α / 2=2,58.
  • Ein Konfidenzniveau von 99,5% hat α=0,005 und einen kritischen Wert von  z α / 2=2,81.

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Standardabweichung

Der griechische Buchstabe Sigma, ausgedrückt als σ, ist die Standardabweichung der Population, die wir untersuchen. Bei Verwendung dieser Formel gehen wir davon aus, dass wir diese Standardabweichung kennen. In der Praxis wissen wir möglicherweise nicht unbedingt genau, wie hoch die Populationsstandardabweichung tatsächlich ist. Glücklicherweise gibt es einige Möglichkeiten, dies zu umgehen, z. B. die Verwendung eines anderen Konfidenzintervalls.

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Probengröße

Die Stichprobengröße wird in der Formel mit  n bezeichnet . Der Nenner unserer Formel besteht aus der Quadratwurzel der Stichprobengröße.

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Reihenfolge der Operationen

Da es mehrere Schritte mit unterschiedlichen arithmetischen Schritten gibt, ist die Reihenfolge der Operationen bei der Berechnung der Fehlergrenze E sehr wichtig  . Nach der Bestimmung des geeigneten Wertes von  z α / 2 mit der Standardabweichung multiplizieren. Berechnen Sie den Nenner des Bruchs, indem Sie zuerst die Quadratwurzel von  n finden und  dann durch diese Zahl dividieren.

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Analyse

Es gibt einige Merkmale der Formel, die Beachtung verdienen:

  • Ein etwas überraschendes Merkmal der Formel ist, dass abgesehen von den Grundannahmen, die über die Bevölkerung getroffen werden, die Formel für die Fehlerquote nicht von der Größe der Bevölkerung abhängt.
  • Da die Fehlerquote umgekehrt zur Quadratwurzel der Stichprobengröße in Beziehung steht, ist die Fehlerquote umso kleiner, je größer die Stichprobe ist.
  • Das Vorhandensein der Quadratwurzel bedeutet, dass wir die Stichprobengröße drastisch erhöhen müssen, um Auswirkungen auf die Fehlerquote zu haben. Wenn wir eine bestimmte Fehlerquote von haben und diese halbieren möchten, müssen wir bei gleichem Konfidenzniveau die Stichprobengröße vervierfachen.
  • Um die Fehlerquote bei einem bestimmten Wert zu halten und gleichzeitig unser Konfidenzniveau zu erhöhen, müssen wir die Stichprobengröße erhöhen.

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