Mathematik

Die LIPET-Strategie für die Integration nach Teilen

Die LIPET-Strategie für die Integration nach Teilen

Die Integration nach Teilen ist eine von vielen Integrationstechniken, die in der Analysis verwendet werden. Diese Integrationsmethode kann als eine Möglichkeit angesehen werden, die Produktregel rückgängig zu machen . Eine der Schwierigkeiten bei der Verwendung dieser Methode besteht darin, zu bestimmen, welche Funktion in unserem Integranden an welchen Teil angepasst werden soll. Das Akronym LIPET kann verwendet werden, um eine Anleitung zur Aufteilung der Teile unseres Integrals zu geben.

 

Integration in Teilstücken

Erinnern Sie sich an die Methode der Teilintegration. Die Formel für diese Methode lautet:

u d v=uv – ∫ v d u .

Diese Formel zeigt, welcher Teil des Integranden gleich u und welcher Teil gleich d v gesetzt werden soll . LIPET ist ein Werkzeug, das uns dabei helfen kann.

 

Das Akronym LIPET

Das Wort „LIPET“ ist ein Akronym. was bedeutet, dass jeder Buchstabe für ein Wort steht. In diesem Fall repräsentieren die Buchstaben verschiedene Arten von Funktionen. Diese Identifikationen sind:

  • L=Logarithmische Funktion
  • I=Inverse trigonometrische Funktion
  • P=Polynomfunktion
  • E=Exponentialfunktion
  • T=Trigonometrische Funktion

Dies gibt eine systematische Liste dessen, was versucht werden soll, in der Formel für die Integration nach Teilen gleich u zu setzen . Wenn es eine logarithmische Funktion gibt, versuchen Sie, diese gleich u zu setzen , während der Rest des Integranden gleich d v ist . Wenn keine logarithmischen oder inversen Triggerfunktionen vorhanden sind, versuchen Sie, ein Polynom gleich u zu setzen . Die folgenden Beispiele helfen, die Verwendung dieses Akronyms zu verdeutlichen.

 

Beispiel 1

Betrachten Sie ∫ x ln x d x . Da es eine logarithmische Funktion gibt, setzen Sie diese Funktion auf u=ln x . Der Rest des Integranden ist d v=x d x . Daraus folgt , dass d u=d x / x und v=x 2 /2 ist .

Diese Schlussfolgerung konnte durch Versuch und Irrtum gefunden werden. Die andere Option wäre gewesen, u=x zu setzen . Somit wäre du sehr einfach zu berechnen. Das Problem entsteht, wenn wir d v=ln x betrachten . Integrieren Sie diese Funktion, um v zu bestimmen . Leider ist dies ein sehr schwer zu berechnendes Integral.

 

Beispiel 2

Betrachten Sie das Integral ∫ x cos x d x . Beginnen Sie mit den ersten beiden Buchstaben in LIPET. Es gibt keine logarithmischen Funktionen oder inversen trigonometrischen Funktionen. Der nächste Buchstabe in LIPET, ein P, steht für Polynome. Da die Funktion x ein Polynom ist, setzen Sie u=x und d v=cos x .

Dies ist die richtige Wahl durch Teile wie d für die Integration zu machen u=d x und v=sin x . Das Integral wird:

x sin x – ∫ sin x d x .

Erhalten Sie das Integral durch eine einfache Integration von sin x .

 

Wenn LIPET ausfällt

Es gibt einige Fälle, in denen LIPET fehlschlägt, was erfordert, dass  u gleich einer anderen als der von LIPET vorgeschriebenen Funktion gesetzt wird. Aus diesem Grund sollte dieses Akronym nur als eine Möglichkeit angesehen werden, Gedanken zu organisieren. Das Akronym LIPET gibt uns auch einen Überblick über eine Strategie, die bei der Verwendung der Teileintegration zu versuchen ist. Es ist kein mathematisches Theorem oder Prinzip, das immer der Weg ist, um ein Problem der Integration nach Teilen zu lösen.

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