Mathematik

Statistiken zum Schalttag am 29. Februar

Statistiken zum Schalttag am 29. Februar

Im Folgenden werden verschiedene statistische Aspekte eines Schaltjahres untersucht. Schaltjahre haben einen zusätzlichen Tag aufgrund einer astronomischen Tatsache über die Revolution der Erde um die Sonne. Fast alle vier Jahre ist es ein Schaltjahr.

Es dauert ungefähr 365 und ein Viertel Tage, bis sich die Erde um die Sonne dreht. Das Standardkalenderjahr dauert jedoch nur 365 Tage. Würden wir das zusätzliche Viertel eines Tages ignorieren, würden irgendwann seltsame Dinge in unseren Jahreszeiten passieren – wie Winter und Schnee im Juli auf der Nordhalbkugel. Um der Anhäufung zusätzlicher Viertel eines Tages entgegenzuwirken, fügt der Gregorianische Kalender fast alle vier Jahre einen zusätzlichen Tag vom 29. Februar hinzu. Diese Jahre werden Schaltjahre genannt, und der 29. Februar wird als Schalttag bezeichnet .

 

Geburtstagswahrscheinlichkeiten

Unter der Annahme, dass die Geburtstage gleichmäßig über das ganze Jahr verteilt sind, ist ein Schalttag am 29. Februar der am wenigsten wahrscheinliche aller Geburtstage. Aber wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit und wie können wir sie berechnen?

Wir beginnen mit der Zählung der Anzahl der Kalendertage in einem Vierjahreszyklus. Drei dieser Jahre haben 365 Tage. Das vierte Jahr, ein Schaltjahr, hat 366 Tage. Die Summe all dieser ist 365 + 365 + 365 + 366=1461. Nur einer dieser Tage ist ein Schalttag. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Schalttagesgeburtstags 1/1461.

Dies bedeutet, dass weniger als 0,07% der Weltbevölkerung an einem Schalttag geboren wurden. Nach den aktuellen Bevölkerungsdaten des US Census Bureau haben in den USA nur etwa 205.000 Menschen einen Geburtstag am 29. Februar. Für die Weltbevölkerung haben ungefähr 4,8 Millionen einen 29. Februar Geburtstag.

Zum Vergleich können wir die Wahrscheinlichkeit eines Geburtstages an jedem anderen Tag des Jahres genauso einfach berechnen. Hier haben wir noch alle 14 Jahre insgesamt 1461 Tage. Jeder andere Tag als der 29. Februar tritt viermal in vier Jahren auf. Somit haben diese anderen Geburtstage eine Wahrscheinlichkeit von 4/1461.

Die Dezimaldarstellung der ersten acht Ziffern dieser Wahrscheinlichkeit beträgt 0,00273785. Wir hätten diese Wahrscheinlichkeit auch schätzen können, indem wir 1/365 berechnet haben, einen Tag aus den 365 Tagen in einem gemeinsamen Jahr. Die Dezimaldarstellung der ersten acht Ziffern dieser Wahrscheinlichkeit beträgt 0,00273972. Wie wir sehen können, stimmen diese Werte bis zu fünf Dezimalstellen überein.

Unabhängig davon, welche Wahrscheinlichkeit wir verwenden, bedeutet dies, dass rund 0,27% der Weltbevölkerung an einem bestimmten Tag ohne Sprung geboren wurden.

 

Schaltjahre zählen

Seit der Einführung des Gregorianischen Kalenders im Jahr 1582 gab es insgesamt 104 Schalttage. Trotz der allgemeinen Überzeugung, dass jedes Jahr, das durch vier teilbar ist, ein Schaltjahr ist, ist es nicht wirklich richtig zu sagen, dass alle vier Jahre ein Schaltjahr ist. Jahrhundertjahre, die sich auf Jahre beziehen, die mit zwei Nullen wie 1800 und 1600 enden, sind durch vier teilbar, dürfen aber keine Schaltjahre sein. Diese Jahrhundertjahre gelten nur dann als Schaltjahre, wenn sie durch 400 teilbar sind. Infolgedessen ist nur eines von vier Jahren, die mit zwei Nullen enden, ein Schaltjahr. Das Jahr 2000 war ein Schaltjahr, 1800 und 1900 jedoch nicht. Die Jahre 2100, 2200 und 2300 werden keine Schaltjahre sein.

 

Mittleres Sonnenjahr

Der Grund, dass 1900 kein Schaltjahr war, hat mit der genauen Messung der durchschnittlichen Länge der Erdumlaufbahn zu tun. Das Sonnenjahr oder die Zeit, die die Erde benötigt, um sich um die Sonne zu drehen, variiert im Laufe der Zeit geringfügig. Es ist möglich und hilfreich, den Mittelwert dieser Variation zu ermitteln.

Die mittlere Umdrehungsdauer beträgt nicht 365 Tage und 6 Stunden, sondern 365 Tage, 5 Stunden, 49 Minuten und 12 Sekunden. Ein Schaltjahr alle vier Jahre für 400 Jahre führt dazu, dass in diesem Zeitraum drei zu viele Tage hinzugefügt werden. Die Jahrhundertjahresregel wurde eingeführt, um diese Überzählung zu korrigieren.

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