Mathematik

Eine Einführung in die Glockenkurve

Eine Normalverteilung ist allgemein als Glockenkurve bekannt. Diese Art von Kurve wird in der Statistik und in der realen Welt angezeigt.

Nachdem ich beispielsweise in einer meiner Klassen einen Test gegeben habe, mache ich gerne eine grafische Darstellung aller Ergebnisse. Normalerweise schreibe ich 10 Punktebereiche wie 60-69, 70-79 und 80-89 auf und setze dann für jedes Testergebnis in diesem Bereich eine Strichmarkierung. Fast jedes Mal, wenn ich das tue, entsteht eine vertraute Form. Einige  Schüler machen es sehr gut und einige sehr schlecht. Eine Reihe von Punktzahlen wird um die mittlere Punktzahl herum verklumpt. Unterschiedliche Tests können zu unterschiedlichen Mittelwerten und Standardabweichungen führen, aber die Form des Diagramms ist fast immer gleich. Diese Form wird üblicherweise als Glockenkurve bezeichnet.

Warum eine Glockenkurve nennen? Die Glockenkurve hat ihren Namen ganz einfach, weil ihre Form der einer Glocke ähnelt. Diese Kurven erscheinen während des gesamten Studiums der Statistik und ihre Bedeutung kann nicht überbetont werden.

 

Was ist eine Glockenkurve?

Technisch gesehen werden die Arten von Glockenkurven, die uns in der Statistik am meisten interessieren, als normale Wahrscheinlichkeitsverteilungen bezeichnet. Im Folgenden nehmen wir einfach an, dass es sich bei den Glockenkurven um normale Wahrscheinlichkeitsverteilungen handelt. Trotz des Namens „Glockenkurve“ sind diese Kurven nicht durch ihre Form definiert. Stattdessen wird eine einschüchternd aussehende Formel als formale Definition für Glockenkurven verwendet.

Aber wir müssen uns wirklich nicht zu viele Sorgen um die Formel machen. Die einzigen zwei Zahlen, die uns wichtig sind, sind der Mittelwert und die Standardabweichung. Bei der Glockenkurve für einen bestimmten Datensatz liegt die Mitte im Mittelwert. Hier befindet sich der höchste Punkt der Kurve oder „Top of the Bell“. Die Standardabweichung eines Datensatzes bestimmt, wie weit unsere Glockenkurve verteilt ist. Je größer die Standardabweichung ist, desto breiter ist die Kurve.

 

Wichtige Merkmale einer Glockenkurve

Es gibt verschiedene Merkmale von Glockenkurven, die wichtig sind und sie von anderen Kurven in der Statistik unterscheiden:

  • Eine Glockenkurve hat einen Modus, der mit dem Mittelwert und dem Median übereinstimmt. Dies ist der Mittelpunkt der Kurve, wo sie am höchsten ist.
  • Eine Glockenkurve ist symmetrisch. Wenn es im Mittel entlang einer vertikalen Linie gefaltet würde, würden beide Hälften perfekt zusammenpassen, da sie Spiegelbilder voneinander sind.
  • Eine Glockenkurve folgt der 68-95-99.7-Regel, die eine bequeme Möglichkeit bietet, geschätzte Berechnungen durchzuführen:
    • Ungefähr 68% aller Daten liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert.
    • Ungefähr 95% aller Daten liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert.
    • Ungefähr 99,7% der Daten liegen innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.

 

Ein Beispiel

Wenn wir wissen, dass eine Glockenkurve unsere Daten modelliert, können wir die obigen Merkmale der Glockenkurve verwenden, um einiges zu sagen. Angenommen, wir haben 100 Schüler, die einen statistischen Test mit einem Durchschnittswert von 70 und einer Standardabweichung von 10 durchgeführt haben.

Die Standardabweichung beträgt 10. Subtrahieren Sie und addieren Sie 10 zum Mittelwert. Dies gibt uns 60 und 80. Nach der 68-95-99.7-Regel würden wir erwarten, dass 68% von 100 oder 68 Schülern beim Test zwischen 60 und 80 Punkte erzielen.

Die zweifache Standardabweichung beträgt 20. Wenn wir 20 zum Mittelwert subtrahieren und addieren, haben wir 50 und 90. Wir würden erwarten, dass etwa 95% von 100 oder 95 Studenten beim Test zwischen 50 und 90 Punkte erzielen.

Eine ähnliche Berechnung zeigt, dass effektiv jeder im Test zwischen 40 und 100 Punkte erzielte.

 

Verwendung der Glockenkurve

Es gibt viele Anwendungen für Glockenkurven. Sie sind in der Statistik wichtig, da sie eine Vielzahl realer Daten modellieren. Wie oben erwähnt, sind Testergebnisse ein Ort, an dem sie angezeigt werden. Hier sind einige andere:

  • Wiederholte Messungen eines Geräts
  • Messungen von Merkmalen in der Biologie
  • Annäherung an zufällige Ereignisse wie das mehrmalige Werfen einer Münze
  • Höhen von Schülern einer bestimmten Klassenstufe in einem Schulbezirk

 

Wann sollte die Glockenkurve nicht verwendet werden?

Obwohl es unzählige Anwendungen von Glockenkurven gibt, ist die Verwendung nicht in allen Situationen angebracht. Einige statistische Datensätze, wie z. B. Geräteausfälle oder Einkommensverteilungen, haben unterschiedliche Formen und sind nicht symmetrisch. In anderen Fällen kann es zwei oder mehr Modi geben, z. B. wenn mehrere Schüler bei einem Test sehr gut und einige sehr schlecht abschneiden. Diese Anwendungen erfordern die Verwendung anderer Kurven, die anders als die Glockenkurve definiert sind. Das Wissen darüber, wie der betreffende Datensatz erhalten wurde, kann dabei helfen, festzustellen, ob eine Glockenkurve zur Darstellung der Daten verwendet werden sollte oder nicht.

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