Mathematik

Eine Einführung in das Testen von Hypothesen

Das Testen von Hypothesen ist ein Thema im Zentrum der Statistik. Diese Technik gehört zu einem Bereich, der als Inferenzstatistik bekannt ist. Forscher aus den unterschiedlichsten Bereichen wie Psychologie, Marketing und Medizin formulieren Hypothesen oder Behauptungen über eine untersuchte Population. Das ultimative Ziel der Forschung ist es, die Gültigkeit dieser Behauptungen zu bestimmen. Sorgfältig gestaltete statistische Experimente erhalten Probendaten aus der Bevölkerung. Die Daten werden wiederum verwendet, um die Genauigkeit einer Hypothese bezüglich einer Population zu testen.

 

Die Regel für seltene Ereignisse

Hypothesentests basieren auf dem Gebiet der Mathematik, das als Wahrscheinlichkeit bekannt ist. Die Wahrscheinlichkeit gibt uns eine Möglichkeit zu quantifizieren, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Ereignis eintritt. Die zugrunde liegende Annahme für alle Inferenzstatistiken bezieht sich auf seltene Ereignisse, weshalb die Wahrscheinlichkeit so häufig verwendet wird. Die Regel für seltene Ereignisse besagt, dass die Annahme höchstwahrscheinlich falsch ist, wenn eine Annahme getroffen wird und die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten beobachteten Ereignisses sehr gering ist.

Die Grundidee hier ist, dass wir einen Anspruch testen, indem wir zwischen zwei verschiedenen Dingen unterscheiden:

  1. Ein Ereignis, das leicht zufällig eintritt.
  2. Ein Ereignis, das höchstwahrscheinlich nicht zufällig eintritt.

Wenn ein höchst unwahrscheinliches Ereignis eintritt, erklären wir dies damit, dass ein seltenes Ereignis tatsächlich stattgefunden hat oder dass die Annahme, mit der wir begonnen haben, nicht wahr ist.

 

Prognostiker und Wahrscheinlichkeit

Als Beispiel, um die Ideen hinter dem Testen von Hypothesen intuitiv zu erfassen, betrachten wir die folgende Geschichte.

Es ist ein wunderschöner Tag draußen, also haben Sie beschlossen, einen Spaziergang zu machen. Während Sie gehen, werden Sie mit einem mysteriösen Fremden konfrontiert. „Sei nicht beunruhigt“, sagt er, „das ist dein Glückstag. Ich bin ein Seher von Sehern und ein Prognostiker von Prognostikern. Ich kann die Zukunft vorhersagen und dies mit größerer Genauigkeit als jeder andere. In 95% der Fälle habe ich recht. Für nur 1000 US-Dollar gebe ich Ihnen die Gewinnzahlen für die nächsten zehn Wochen. Sie werden fast sicher sein, einmal und wahrscheinlich mehrmals zu gewinnen.“

Das klingt zu gut um wahr zu sein, aber Sie sind fasziniert. „Beweisen Sie es“, antworten Sie. „Zeigen Sie mir, dass Sie die Zukunft wirklich vorhersagen können, dann werde ich Ihr Angebot prüfen.“

„Na sicher. Ich kann Ihnen jedoch keine kostenlosen Lottozahlen geben . Aber ich werde Ihnen meine Kräfte wie folgt zeigen. In diesem versiegelten Umschlag befindet sich ein Blatt Papier mit den Nummern 1 bis 100, nach dem jeweils „Köpfe“ oder „Schwänze“ geschrieben sind. Wenn Sie nach Hause gehen, werfen Sie 100 Mal eine Münze und zeichnen Sie die Ergebnisse in der Reihenfolge auf, in der Sie sie erhalten. Öffnen Sie dann den Umschlag und vergleichen Sie die beiden Listen. Meine Liste entspricht mindestens 95 Ihrer Münzwürfe.“

Sie nehmen den Umschlag mit einem skeptischen Blick. „Ich werde morgen zur gleichen Zeit hier sein, wenn Sie sich entschließen, mein Angebot anzunehmen.“

Wenn Sie nach Hause gehen, nehmen Sie an, dass der Fremde sich einen kreativen Weg ausgedacht hat, um Menschen aus ihrem Geld herauszuholen. Wenn Sie jedoch nach Hause kommen, werfen Sie eine Münze und schreiben auf, welche Würfe Ihnen Köpfe geben und welche Schwänze sind. Dann öffnen Sie den Umschlag und vergleichen die beiden Listen.

Wenn die Listen nur an 49 Stellen übereinstimmen, würden Sie zu dem Schluss kommen, dass der Fremde bestenfalls getäuscht ist und schlimmer noch eine Art Betrug durchführt. Schließlich würde der Zufall allein dazu führen, dass er in etwa der Hälfte der Fälle korrekt ist. In diesem Fall würden Sie wahrscheinlich Ihre Wanderroute für einige Wochen ändern.

Was wäre, wenn die Listen 96-mal übereinstimmen würden? Die Wahrscheinlichkeit, dass dies zufällig geschieht, ist äußerst gering. Aufgrund der Tatsache, dass die Vorhersage von 96 von 100 Münzwürfen außerordentlich unwahrscheinlich ist, schließen Sie, dass Ihre Annahme über den Fremden falsch war und er tatsächlich die Zukunft vorhersagen kann.

 

Das formale Verfahren

Dieses Beispiel veranschaulicht die Idee hinter dem Testen von Hypothesen und ist eine gute Einführung in die weitere Untersuchung. Das genaue Verfahren erfordert eine spezielle Terminologie und ein schrittweises Verfahren, aber das Denken ist dasselbe. Die Regel für seltene Ereignisse bietet die Munition, um eine Hypothese abzulehnen und eine alternative zu akzeptieren.

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