Mathematik

Was ist der Schnittpunkt zweier Mengen?

Wenn es um die Mengenlehre geht. gibt es eine Reihe von Operationen, um aus alten neue Mengen zu machen. Eine der häufigsten Mengenoperationen wird als Schnittpunkt bezeichnet. Einfach ausgedrückt ist der Schnittpunkt zweier Mengen A und B die Menge aller Elemente, die sowohl A als auch B gemeinsam haben.

Wir werden uns Details bezüglich des Schnittpunkts in der Mengenlehre ansehen. Wie wir sehen werden, ist das Schlüsselwort hier das Wort „und“.

 

Ein Beispiel

Als Beispiel dafür, wie der Schnittpunkt zweier Mengen eine neue Menge bildet. betrachten wir die Mengen A={1, 2, 3, 4, 5} und B={3, 4, 5, 6, 7, 8}. Um den Schnittpunkt dieser beiden Mengen zu finden, müssen wir herausfinden, welche Elemente sie gemeinsam haben. Die Zahlen 3, 4, 5 sind Elemente beider Mengen, daher ist der Schnittpunkt von A und B {3. 4. 5].

 

Notation für Schnittpunkt

Neben dem Verständnis der Konzepte für Operationen der Mengenlehre ist es wichtig, Symbole lesen zu können, die zur Bezeichnung dieser Operationen verwendet werden. Das Symbol für die Kreuzung wird manchmal durch das Wort „und“ zwischen zwei Sätzen ersetzt. Dieses Wort schlägt die kompaktere Notation für eine Kreuzung vor, die normalerweise verwendet wird.

Das für den Schnittpunkt der beiden Mengen A und B verwendete Symbol ist durch AB gegeben . Eine Möglichkeit, sich daran zu erinnern, dass sich dieses Symbol ∩ auf einen Schnittpunkt bezieht, besteht darin, seine Ähnlichkeit mit einem Großbuchstaben A zu bemerken, das für das Wort „und“ steht.

Um diese Notation in Aktion zu sehen, lesen Sie das obige Beispiel. Hier hatten wir die Mengen A={1, 2, 3, 4, 5} und B={3, 4, 5, 6, 7, 8}. Wir würden also die Mengengleichung AB={3, 4, 5} schreiben .

 

Schnittpunkt mit dem leeren Satz

Eine grundlegende Identität, die den Schnittpunkt betrifft, zeigt uns, was passiert, wenn wir den Schnittpunkt einer Menge mit der leeren Menge nehmen, die mit # 8709 bezeichnet ist. Die leere Menge ist die Menge ohne Elemente. Wenn in mindestens einer der Mengen, deren Schnittpunkt wir suchen, keine Elemente vorhanden sind, haben die beiden Mengen keine gemeinsamen Elemente. Mit anderen Worten, der Schnittpunkt einer Menge mit der leeren Menge gibt uns die leere Menge.

Diese Identität wird durch die Verwendung unserer Notation noch kompakter. Wir haben die Identität: A ∩ ∅=∅.

 

Schnittpunkt mit dem Universal Set

Was passiert für das andere Extrem, wenn wir den Schnittpunkt einer Menge mit der universellen Menge untersuchen? Ähnlich wie das Wort Universum in der Astronomie verwendet wird, um alles zu bedeuten, enthält die universelle Menge jedes Element. Daraus folgt, dass jedes Element unserer Menge auch ein Element der universellen Menge ist. Somit ist der Schnittpunkt einer Menge mit der universellen Menge die Menge, mit der wir begonnen haben.

Wieder kommt unsere Notation zur Rettung, um diese Identität prägnanter auszudrücken. Für jede Menge A und die Grundmenge U , AU=A .

 

Andere Identitäten, die den Schnittpunkt betreffen

Es gibt viel mehr Mengengleichungen, die die Verwendung der Schnittoperation beinhalten. Natürlich ist es immer gut, mit der Sprache der Mengenlehre zu üben. Für alle Sätze A und B und D haben wir:

  • Reflexive Eigenschaft: AA=A.
  • Kommutative Eigenschaft: AB=BA.
  • Assoziative Eigenschaft. ( AB ) ∩ D=A ∩ ( BD )
  • Verteilungseigenschaft: ( AB ) ∩ D=( AD ) ∪ ( BD )
  • DeMorgansches Gesetz I: ( AB ) C=A CB C.
  • DeMorgansches Gesetz II: ( AB ) C=A CB C.

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