Mathematik

Finden Sie die Wendepunkte für die Normalverteilung

Eine großartige Sache an der Mathematik ist die Art und Weise, wie scheinbar nicht verwandte Bereiche des Fachs auf überraschende Weise zusammenkommen. Ein Beispiel hierfür ist die Anwendung einer Idee aus dem Kalkül auf die Glockenkurve. Ein Werkzeug im Kalkül, das als Ableitung bekannt ist, wird verwendet, um die folgende Frage zu beantworten. Wo sind die Wendepunkte auf dem Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Normalverteilung ?

 

Wendepunkte

Kurven haben eine Vielzahl von Merkmalen, die klassifiziert und kategorisiert werden können. Ein Punkt in Bezug auf Kurven, den wir berücksichtigen können, ist, ob der Graph einer Funktion zunimmt oder abnimmt. Ein weiteres Merkmal betrifft etwas, das als Konkavität bekannt ist. Dies kann grob als die Richtung angesehen werden, in die ein Teil der Kurve zeigt. Formaler Konkavität ist die Krümmungsrichtung.

Ein Teil einer Kurve wird als konkav nach oben bezeichnet, wenn er wie der Buchstabe U geformt ist. Ein Teil einer Kurve ist nach unten konkav, wenn er wie folgt geformt ist ∩. Es ist leicht zu merken, wie dies aussieht, wenn wir an eine Höhle denken, die sich entweder nach oben für konkav nach oben oder nach unten für konkav nach unten öffnet. Ein Wendepunkt ist der Punkt, an dem eine Kurve die Konkavität ändert. Mit anderen Worten, es ist ein Punkt, an dem eine Kurve von konkav nach oben nach unten oder umgekehrt verläuft.

 

Zweite Derivate

In der Analysis ist die Ableitung ein Werkzeug, das auf verschiedene Arten verwendet wird. Während die bekannteste Verwendung der Ableitung darin besteht, die Steigung einer Linie zu bestimmen, die eine Kurve an einem bestimmten Punkt tangiert, gibt es andere Anwendungen. Eine dieser Anwendungen hat mit dem Auffinden von Wendepunkten des Graphen einer Funktion zu tun.

Wenn der Graph von y=f (x) einen Wendepunkt bei x=a hat , ist die zweite Ableitung von f, die bei a ausgewertet wird, Null. Wir schreiben dies in mathematischer Notation als f “ (a)=0. Wenn die zweite Ableitung einer Funktion an einem Punkt Null ist, bedeutet dies nicht automatisch, dass wir einen Wendepunkt gefunden haben. Wir können jedoch nach möglichen Wendepunkten suchen, indem wir sehen, wo die zweite Ableitung Null ist. Wir werden diese Methode verwenden, um den Ort der Wendepunkte der Normalverteilung zu bestimmen.

 

Wendepunkte der Glockenkurve

Eine Zufallsvariable, die normalerweise mit dem Mittelwert μ und der Standardabweichung von σ verteilt ist, hat eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von

f (x)=1 / (σ √ (2 π)) exp [- (x – μ) 2 / (2σ 2 )] .

Hier verwenden wir die Notation exp [y]=e y , wobei e die mathematische Konstante ist, die durch 2.71828 angenähert wird.

Die erste Ableitung dieser Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird gefunden, indem die Ableitung für e x bekannt ist und die Kettenregel angewendet wird.

f ‚(x)=- (x – μ) / (σ 3 √ (2 π)) exp [- (x – μ) 2 / (2σ 2 )]=- (x – μ) f (x) / σ 2 .

Wir berechnen nun die zweite Ableitung dieser Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Wir verwenden die Produktregel, um Folgendes zu sehen:

f “ (x)=- f (x) / σ 2 – (x – μ) f ‚(x) / σ 2

Vereinfachung dieses Ausdrucks haben wir

f “ (x)=- f (x) / σ 2 + (x – μ) 2 f (x) / (σ 4 )

Setzen Sie nun diesen Ausdruck auf Null und lösen Sie nach x . Da f (x) eine Funktion ungleich Null ist, können wir beide Seiten der Gleichung durch diese Funktion teilen.

0=- 1 / σ 2 + (x – μ) 2 / σ 4

Um die Brüche zu eliminieren, können wir beide Seiten mit σ 4 multiplizieren

0=- σ 2 + (x – μ) 2

Wir sind jetzt fast am Ziel. Um nach x zu lösen , sehen wir das

σ 2=(x – μ) 2

Indem Sie eine Quadratwurzel von beiden Seiten ziehen (und daran denken, sowohl die positiven als auch die negativen Werte der Wurzel zu ziehen

± σ=x – μ

Daraus ist leicht zu erkennen, dass die Wendepunkte auftreten, an denen x=μ ± σ ist . Mit anderen Worten liegen die Wendepunkte eine Standardabweichung über dem Mittelwert und eine Standardabweichung unter dem Mittelwert.

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