Wissenschaft

Ermittlung wesentlicher Zahlen

Mit jeder Messung ist eine gewisse Unsicherheit verbunden. Die Unsicherheit ergibt sich aus dem Messgerät und den Fähigkeiten der Person, die die Messung durchführt. Wissenschaftler berichten über Messungen mit signifikanten Zahlen, um diese Unsicherheit widerzuspiegeln.

Nehmen wir als Beispiel die Volumenmessung. Angenommen, Sie befinden sich in einem Chemielabor und benötigen 7 ml Wasser. Sie könnten eine nicht gekennzeichnete Kaffeetasse nehmen und Wasser hinzufügen, bis Sie denken, dass Sie ungefähr 7 Milliliter haben. In diesem Fall hängt der Großteil des Messfehlers mit der Fähigkeit der Person zusammen, die die Messung durchführt. Sie können ein Becherglas verwenden, das in Schritten von 5 ml markiert ist. Mit dem Becherglas könnten Sie leicht ein Volumen zwischen 5 und 10 ml erhalten, wahrscheinlich nahe 7 ml, 1 ml geben oder nehmen. Wenn Sie eine mit 0,1 ml gekennzeichnete Pipette verwenden, können Sie ziemlich zuverlässig ein Volumen zwischen 6,99 und 7,01 ml erhalten. Es wäre falsch zu berichten, dass Sie mit einem dieser Geräte 7.000 ml gemessen haben, weil Sie das Volumen nicht auf den nächsten Mikroliter genau gemessen haben . Sie würden Ihre Messung mit signifikanten Zahlen melden . Dazu gehören alle Ziffern, die Sie mit Sicherheit kennen, sowie die letzte Ziffer, die einige Unsicherheiten enthält.

 

Wichtige Figurenregeln

    • Ziffern ungleich Null sind immer von Bedeutung.
    • Alle Nullen zwischen anderen signifikanten Ziffern sind signifikant.
    • Die Anzahl der signifikanten Ziffern wird bestimmt, indem mit der Ziffer ganz links ungleich Null begonnen wird. Die am weitesten links stehende Ziffer ungleich Null wird manchmal als die höchstwertige Ziffer oder die höchstwertige Zahl bezeichnet . Beispielsweise ist in der Zahl 0,004205 die ‚4‘ die signifikanteste Zahl. Die Nullen auf der linken Seite sind nicht signifikant. Die Null zwischen der ‚2‘ und der ‚5‘ ist signifikant.
    • Die am weitesten rechts stehende Ziffer einer Dezimalzahl ist die niedrigstwertige Ziffer oder die niedrigstwertige Zahl. Eine andere Möglichkeit, die am wenigsten signifikante Zahl zu betrachten, besteht darin, sie als die am weitesten rechts stehende Ziffer zu betrachten, wenn die Zahl in wissenschaftlicher Notation geschrieben ist. Die am wenigsten signifikanten Zahlen sind immer noch signifikant! In der Nummer 0.004205 (die als 4.205 x 10 geschrieben werden können , -3 ), die ‚5‘ ist die am wenigsten signifikante Figur. In der Zahl 43.120 (die als 4.3210 x 10 1 geschrieben werden kann ) ist die ‚0‘ die niedrigstwertige Zahl.
    • Wenn kein Dezimalpunkt vorhanden ist, ist die am weitesten rechts stehende Ziffer ungleich Null die niedrigstwertige Zahl. In der Zahl 5800 ist die niedrigstwertige Zahl ‚8‘.

 

 

Unsicherheit bei Berechnungen

Messgrößen werden häufig in Berechnungen verwendet. Die Genauigkeit der Berechnung wird durch die Genauigkeit der Messungen begrenzt, auf denen sie basiert.

  • Addition und Subtraktion
    Wenn Messgrößen zusätzlich oder subtrahiert verwendet werden, wird die Unsicherheit durch die absolute Unsicherheit bei der am wenigsten genauen Messung bestimmt (nicht durch die Anzahl der signifikanten Zahlen). Manchmal wird dies als die Anzahl der Stellen nach dem Dezimalpunkt angesehen.
    32,01 m
    5,325 m
    12 m
    Zusammen ergeben Sie 49,335 m, aber die Summe sollte als 49 Meter angegeben werden.
  • Multiplikation und Division
    Wenn experimentelle Größen multipliziert oder geteilt werden, ist die Anzahl der signifikanten Zahlen im Ergebnis dieselbe wie die in der Menge mit der kleinsten Anzahl signifikanter Zahlen. Wenn zum Beispiel eine Dichteberechnung durchgeführt wird, bei der 25,624 Gramm durch 25 ml geteilt werden, sollte die Dichte als 1,0 g / ml angegeben werden, nicht als 1,0000 g / ml oder 1.000 g / ml.

 

Bedeutende Zahlen verlieren

Manchmal gehen bei der Berechnung signifikante Zahlen verloren. Zum Beispiel, wenn Sie die Masse finden einen Becher 53,110 g sein, Wasser in den Becher hinzufügen und die Masse des Bechers plus Wasser finden 53,987 g sein, die Masse des Wassers von 53,987 bis 53,110 g=0,877 g
Die endgültige Der Wert hat nur drei signifikante Zahlen, obwohl jede Massenmessung 5 signifikante Zahlen enthielt.

 

Zahlen runden und abschneiden

Es gibt verschiedene Methoden, um Zahlen zu runden. Die übliche Methode besteht darin, Zahlen mit Ziffern von weniger als 5 nach unten und Zahlen mit Ziffern von mehr als 5 nach oben zu runden (einige Leute runden genau 5 nach oben und andere nach unten).

Beispiel:
Wenn Sie 7,799 g – 6,25 g abziehen, ergibt Ihre Berechnung 1,549 g. Diese Zahl würde auf 1,55 g gerundet, da die Ziffer ‚9‘ größer als ‚5‘ ist.

In einigen Fällen werden Zahlen eher abgeschnitten oder gekürzt als gerundet, um geeignete signifikante Zahlen zu erhalten. Im obigen Beispiel könnten 1,549 g auf 1,54 g abgeschnitten worden sein.

 

Genaue Zahlen

Manchmal sind die in einer Berechnung verwendeten Zahlen eher genau als ungefähr. Dies gilt, wenn definierte Größen einschließlich vieler Umrechnungsfaktoren verwendet werden und wenn reine Zahlen verwendet werden. Reine oder definierte Zahlen haben keinen Einfluss auf die Genauigkeit einer Berechnung. Sie können sich vorstellen, dass sie unendlich viele signifikante Zahlen haben. Reine Zahlen sind leicht zu erkennen, da sie keine Einheiten haben. Definierte Werte oder Umrechnungsfaktoren können wie Messwerte Einheiten haben. Übe, sie zu identifizieren!

Beispiel:
Sie möchten die durchschnittliche Höhe von drei Pflanzen berechnen und die folgenden Höhen messen: 30,1 cm, 25,2 cm, 31,3 cm; mit einer durchschnittlichen Höhe von (30,1 + 25,2 + 31,3) / 3=86,6 / 3=28,87=28,9 cm. Es gibt drei signifikante Figuren in den Höhen. Obwohl Sie die Summe durch eine einzelne Ziffer teilen, sollten die drei signifikanten Zahlen in der Berechnung beibehalten werden.

 

Genauigkeit und Präzision

Genauigkeit und Präzision sind zwei getrennte Konzepte. Die klassische Illustration, die die beiden unterscheidet, besteht darin, ein Ziel oder ein Bullauge zu betrachten. Pfeile, die ein Bullauge umgeben, zeigen ein hohes Maß an Genauigkeit an; Pfeile, die sehr nahe beieinander liegen (möglicherweise nicht in der Nähe des Bullauge), weisen auf ein hohes Maß an Präzision hin. Um genau zu sein, muss sich ein Pfeil in der Nähe des Ziels befinden. Um genau zu sein, müssen aufeinanderfolgende Pfeile nahe beieinander liegen. Das konsequente Schlagen der Mitte des Bullauge zeigt sowohl Genauigkeit als auch Präzision an.

Betrachten Sie eine digitale Waage. Wenn Sie dasselbe leere Becherglas wiederholt wiegen, liefert die Waage Werte mit hoher Präzision (z. B. 135,776 g, 135,775 g, 135,776 g). Die tatsächliche Masse des Bechers kann sehr unterschiedlich sein. Skalen (und andere Instrumente) müssen kalibriert werden! Instrumente liefern normalerweise sehr genaue Messwerte, aber die Genauigkeit erfordert eine Kalibrierung. Thermometer sind notorisch ungenau und müssen über die Lebensdauer des Instruments häufig mehrmals neu kalibriert werden. Waagen müssen auch neu kalibriert werden, insbesondere wenn sie bewegt oder misshandelt werden.

 

Quellen

  • de Oliveira Sannibale, Virgínio (2001). “ Messungen und signifikante Zahlen „. Freshman Physics Laboratory . Abteilung des California Institute of Technology, Physik, Mathematik und Astronomie.
  • Myers, R. Thomas; Oldham, Keith B.; Tocci, Salvatore (2000). Chemie . Austin, Texas: Holt Rinehart Winston. ISBN 0-03-052002-9.

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