Mathematik

So berechnen Sie die Fehlerquote

Oft geben politische Umfragen und andere statistische Anwendungen ihre Ergebnisse mit einer Fehlerquote an. Es ist nicht ungewöhnlich, dass in einer Meinungsumfrage festgestellt wird, dass ein Problem oder ein Kandidat bei einem bestimmten Prozentsatz der Befragten plus und minus eines bestimmten Prozentsatzes unterstützt wird. Es ist dieser Plus- und Minus-Term, der die Fehlerquote darstellt. Aber wie berechnet sich die Fehlerquote? Für eine einfache Zufallsstichprobe einer ausreichend großen Population ist die Marge oder der Fehler nur eine Anpassung der Stichprobengröße und des verwendeten Vertrauensniveaus.

 

Die Formel für die Fehlergrenze

Im Folgenden verwenden wir die Formel für die Fehlerquote. Wir werden den schlimmsten Fall planen, in dem wir keine Ahnung haben, wie hoch die tatsächliche Unterstützung in unserer Umfrage ist. Wenn wir eine Vorstellung von dieser Zahl hätten, möglicherweise durch frühere Abfragedaten, hätten wir eine geringere Fehlerquote.

Die Formel, die wir verwenden werden, lautet: E=z α / 2 / (2√ n)

 

Das Maß an Vertrauen

Die erste Information, die wir zur Berechnung der Fehlerquote benötigen, ist die Bestimmung des gewünschten Vertrauensniveaus. Diese Zahl kann ein beliebiger Prozentsatz von weniger als 100% sein, aber die häufigsten Vertrauensniveaus sind 90%, 95% und 99%. Von diesen drei wird das 95% -Niveau am häufigsten verwendet.

Wenn wir das Konfidenzniveau von eins subtrahieren, erhalten wir den Wert von Alpha, geschrieben als α, der für die Formel benötigt wird.

 

Der kritische Wert

Der nächste Schritt bei der Berechnung der Marge oder des Fehlers besteht darin, den geeigneten kritischen Wert zu finden. Dies wird durch den Ausdruck z & agr; / 2 in der obigen Formel angezeigt . Da wir eine einfache Zufallsstichprobe einer großen Population angenommen haben, können wir die Standardnormalverteilung von z- Punkten verwenden.

Angenommen, wir arbeiten mit einem Vertrauensniveau von 95%. Wir wollen den z- Wert z * nachschlagen, für den der Bereich zwischen -z * und z * 0,95 beträgt. Aus der Tabelle geht hervor, dass dieser kritische Wert 1,96 beträgt.

Wir hätten den kritischen Wert auch folgendermaßen finden können. Wenn wir in α / 2 denken, sehen wir, dass α / 2=0,025 ist, da α=1 – 0,95=0,05. Wir durchsuchen nun die Tabelle, um den z- Punkt mit einer Fläche von 0,025 rechts davon zu finden. Wir würden am Ende den gleichen kritischen Wert von 1,96 haben.

Andere Vertrauensniveaus geben uns andere kritische Werte. Je höher das Vertrauensniveau, desto höher ist der kritische Wert. Der kritische Wert für ein Konfidenzniveau von 90% mit einem entsprechenden α-Wert von 0,10 beträgt 1,64. Der kritische Wert für ein Konfidenzniveau von 99% mit einem entsprechenden α-Wert von 0,01 beträgt 2,54.

 

Probengröße

Die einzige andere Zahl, die wir zur Berechnung der Fehlerquote verwenden müssen, ist die Stichprobengröße. die in der Formel mit n bezeichnet wird . Wir ziehen dann die Quadratwurzel dieser Zahl.

Aufgrund der Position dieser Zahl in der obigen Formel ist die Fehlerquote umso geringer , je größer die von uns verwendete Stichprobengröße ist. Große Proben sind daher kleineren vorzuziehen. Da statistische Stichproben jedoch Zeit und Geld erfordern, gibt es Einschränkungen, wie stark wir die Stichprobengröße erhöhen können. Das Vorhandensein der Quadratwurzel in der Formel bedeutet, dass durch Vervierfachen der Stichprobengröße nur die Hälfte der Fehlerquote erreicht wird.

 

Einige Beispiele

Schauen wir uns einige Beispiele an, um die Formel zu verstehen.

  1. Wie hoch ist die Fehlermarge für eine Stichprobe von 900 Personen auf 95% Vertrauensniveau ?
  2. Bei Verwendung der Tabelle haben wir einen kritischen Wert von 1,96, sodass die Fehlerquote 1,96 / (2 √ 900=0,03267 oder etwa 3,3%) beträgt.
  3. Was ist die Fehlerquote für eine einfache Zufallsstichprobe von 1600 Personen bei einem Vertrauensniveau von 95%?
  4. Bei gleichem Vertrauensniveau wie im ersten Beispiel ergibt eine Erhöhung der Stichprobengröße auf 1600 eine Fehlerquote von 0,0245 oder etwa 2,5%.

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