Mathematik

Die Formel für den erwarteten Wert

Eine natürliche Frage zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet: „Was ist ihr Zentrum?“ Der erwartete Wert ist eine solche Messung des Zentrums einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Da es den Mittelwert misst, sollte es keine Überraschung sein, dass diese Formel von der des Mittelwerts abgeleitet ist.

Um einen Ausgangspunkt festzulegen, müssen wir die Frage beantworten: „Was ist der erwartete Wert?“ Angenommen, wir haben eine Zufallsvariable, die einem Wahrscheinlichkeitsexperiment zugeordnet ist. Nehmen wir an, wir wiederholen dieses Experiment immer wieder. Wenn wir über mehrere Wiederholungen desselben Wahrscheinlichkeitsexperiments hinweg alle unsere Werte der Zufallsvariablen gemittelt hätten, würden wir den erwarteten Wert erhalten.

Im Folgenden sehen wir, wie die Formel für den erwarteten Wert verwendet wird. Wir werden sowohl die diskreten als auch die kontinuierlichen Einstellungen betrachten und die Ähnlichkeiten und Unterschiede in den Formeln sehen.

 

Die Formel für eine diskrete Zufallsvariable

Wir beginnen mit der Analyse des diskreten Falls. Angenommen, eine diskrete Zufallsvariable X hat Werte x 1 , x 2 , x 3 ,. . . x n und entsprechende Wahrscheinlichkeiten von p 1 , p 2 , p 3 ,. . . p n . Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für diese Zufallsvariable f ( x i ) =  p i ergibt .

Der erwartete Wert von X ergibt sich aus der Formel:

E ( X )=x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 +. . . + x n p n .

Die Verwendung der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion und der Summationsnotation ermöglicht es uns, diese Formel wie folgt kompakter zu schreiben, wobei die Summation über den Index i übernommen wird :

E ( X )=Σ x i f ( x i ).

Diese Version der Formel ist hilfreich zu sehen, da sie auch funktioniert, wenn wir einen unendlichen Probenraum haben. Diese Formel kann auch leicht für den kontinuierlichen Fall angepasst werden.

 

Ein Beispiel

Wirf dreimal eine Münze und lasse X die Anzahl der Köpfe sein. Die Zufallsvariable ist diskret und endlich. Die einzig möglichen Werte, die wir haben können, sind 0, 1, 2 und 3. Dies hat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von 1/8 für X=0, 3/8 für X=1, 3/8 für X=2, 1/8 für X=3. Verwenden Sie die Erwartungswertformel, um Folgendes zu erhalten:

(1/8) 0 + (3/8) 1 + (3/8) 2 + (1/8) 3=12/8=1,5

In diesem Beispiel sehen wir, dass wir auf lange Sicht durchschnittlich 1,5 Köpfe aus diesem Experiment erhalten werden. Dies ist mit unserer Intuition sinnvoll, da die Hälfte von 3 1,5 beträgt.

 

Die Formel für eine kontinuierliche Zufallsvariable

Wir wenden uns nun einer kontinuierlichen Zufallsvariablen zu, die wir mit X bezeichnen werden . Wir lassen die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von  durch die Funktion f ( x ) gegeben sein.

Der erwartete Wert von X ergibt sich aus der Formel:

E ( X )=∫ xf ( x ) d x.

Hier sehen wir, dass der erwartete Wert unserer Zufallsvariablen als Integral ausgedrückt wird.

 

Anwendungen von erwartetem Wert

Es gibt viele Anwendungen für den erwarteten Wert einer Zufallsvariablen. Diese Formel macht einen interessanten Auftritt im St. Petersburg Paradoxon .

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