Mathematik

Gleichungen lösen: Exponentielles Wachstum

Exponentialfunktionen erzählen die Geschichten explosiver Veränderungen. Die zwei Arten von Exponentialfunktionen sind exponentielles Wachstum und exponentieller Abfall . Vier Variablen – prozentuale Änderung. Zeit, Betrag zu Beginn des Zeitraums und Betrag am Ende des Zeitraums – spielen in Exponentialfunktionen eine Rolle. Dieser Artikel konzentriert sich auf Textaufgaben verwenden , um die Menge zu Beginn des Zeitraums, zu finden ein .

 

Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum: Die Änderung, die auftritt, wenn ein ursprünglicher Betrag über einen bestimmten Zeitraum um eine konstante Rate erhöht wird

Verwendung von exponentiellem Wachstum im wirklichen Leben:

  • Werte der Eigenheimpreise
  • Werte von Investitionen
  • Erhöhte Mitgliedschaft in einer beliebten Social-Networking-Site

Hier ist eine exponentielle Wachstumsfunktion:

y= a ( 1 + b) x

  • y : Restbetrag, der über einen bestimmten Zeitraum verbleibt
  • a : Der ursprüngliche Betrag
  • x : Zeit
  • Der Wachstumsfaktor ist (1 + b ).
  • Die Variable b ist die prozentuale Änderung in Dezimalform.

 

Zweck der Ermittlung des ursprünglichen Betrags

Wenn Sie diesen Artikel lesen, sind Sie wahrscheinlich ehrgeizig. In sechs Jahren möchten Sie vielleicht einen Bachelor-Abschluss an der Dream University machen. Mit einem Preis von 120.000 US-Dollar ruft die Dream University finanzielle Nachtangst hervor. Nach schlaflosen Nächten treffen Sie, Mama und Papa sich mit einem Finanzplaner. Die blutunterlaufenen Augen Ihrer Eltern klären sich, wenn der Planer eine Investition mit einer Wachstumsrate von 8% aufdeckt, die Ihrer Familie helfen kann, das Ziel von 120.000 USD zu erreichen. Studiere hart. Wenn Sie und Ihre Eltern heute 75.620,36 USD investieren, wird die Dream University zu Ihrer Realität.

 

Auflösen nach dem ursprünglichen Betrag einer Exponentialfunktion

Diese Funktion beschreibt das exponentielle Wachstum der Investition:

120.000= a (1 +.08) 6

  • 120.000: Restbetrag nach 6 Jahren
  • .08: Jährliche Wachstumsrate
  • 6: Die Anzahl der Jahre, in denen die Investition wächst
  • a: Der anfängliche Betrag, den Ihre Familie investiert hat

Hinweis : Dank der symmetrischen Eigenschaft der Gleichheit ist 120.000=a (1 +.08) 6 dasselbe wie a (1 +.08) 6=120.000. (Symmetrische Eigenschaft der Gleichheit: Wenn 10 + 5=15, dann 15=10 + 5.)

Wenn Sie es vorziehen, die Gleichung mit der Konstanten 120.000 rechts neben der Gleichung neu zu schreiben, tun Sie dies.

a (1 +.08) 6=120.000

Zugegeben, die Gleichung sieht nicht wie eine lineare Gleichung aus (6 a=120.000 USD), ist aber lösbar. Dabei bleiben!

a (1 +.08) 6=120.000

Seien Sie vorsichtig: Lösen Sie diese Exponentialgleichung nicht, indem Sie 120.000 durch 6 teilen. Es ist ein verlockendes mathematisches Nein-Nein.

1. Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen .

a (1 +.08) 6=120.000
a (1.08) 6=120.000 (Klammer)
a (1.586874323)=120.000 (Exponent)

2. Lösen Sie durch Teilen

a (1,586874323)=120.000
a (1,586874323) / (1,586874323)=120.000 / (1,586874323)
1 a=75,620,35523
a=75,620,35523

Der ursprünglich zu investierende Betrag beträgt ca. 75.620,36 USD.

3. Einfrieren – Sie sind noch nicht fertig. Verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um Ihre Antwort zu überprüfen.

120.000=a (1 +.08) 6
120.000=75.620.35523 (1 +.08) 6
120.000=75.620.35523 (1.08) 6  (Klammer)
120.000=75.620.35523 (1.586874323) (Exponent)
120.000=120.000 (Multiplikation)

 

Antworten und Erklärungen zu den Fragen

Originalarbeitsblatt

Landwirt und Freunde
Verwenden Sie die Informationen über die Social-Networking-Site des Landwirts, um die Fragen 1-5 zu beantworten.

Ein Landwirt startete eine Social-Networking-Site, farmandandfriends.org, die Tipps für die Gartenarbeit im Hinterhof gibt. Als farmandandfriends.org es Mitgliedern ermöglichte, Fotos und Videos zu veröffentlichen, wuchs die Mitgliederzahl der Website exponentiell. Hier ist eine Funktion, die dieses exponentielle Wachstum beschreibt.

120.000= a (1 + 0,40) 6

    1. Wie viele Personen gehören zu farmandandfriends.org, 6 Monate nachdem es das Teilen von Fotos und Videos ermöglicht hat? 120.000 Personen
      Vergleichen Sie diese Funktion mit der ursprünglichen exponentiellen Wachstumsfunktion:
      120.000 =  a (1 + .40) 6
      y=a (1 + b ) x
      Der ursprüngliche Betrag y beträgt in dieser Funktion für soziale Netzwerke 120.000.
    2. Stellt diese Funktion ein exponentielles Wachstum oder einen exponentiellen Zerfall dar? Diese Funktion repräsentiert aus zwei Gründen ein exponentielles Wachstum. Grund 1: Der Informationsabschnitt zeigt, dass „die Website-Mitgliedschaft exponentiell gewachsen ist“. Grund 2: Ein positives Vorzeichen steht unmittelbar vor b , der monatlichen prozentualen Änderung.
    3. Was ist die monatliche prozentuale Zunahme oder Abnahme? Die monatliche prozentuale Steigerung beträgt 40%, 0,40 in Prozent.
    4. Wie viele Mitglieder gehörten vor 6 Monaten zu farmandandfriends.org, kurz bevor die gemeinsame Nutzung von Fotos und Videos eingeführt wurde? Ungefähr 15.937 Mitglieder
      Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen.
      120.000=a (1,40) 6
      120.000=a (7,529536)
      Teilen, um zu lösen.
      120.000 / 7,529536=a (7,529536) / 7,529536
      15,937,23704=1 a
      15,937,23704=a
      Verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um Ihre Antwort zu überprüfen.
      120.000=15.937,23704 (1 + 0,40) 6
      120.000=15.937,23704 (1,40) 6
      120.000=15.937,23704 (7,529536)
      120.000=120.000

 

  1. Wenn sich diese Trends fortsetzen, wie viele Mitglieder werden 12 Monate nach Einführung von Foto- und Video-Sharing zur Website gehören? Über 903.544 Mitglieder Schließen
    Sie an, was Sie über die Funktion wissen. Denken Sie daran, diesmal haben Sie einen , den ursprünglichen Betrag. Sie lösen nach y , dem Betrag, der am Ende eines Zeitraums verbleibt.
    ya (1 + .40) x
    y = 15.937,23704 (1 + .40) 12
    Verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um y zu finden .
    y=15.937,23704 (1,40) 12
    y=15.937,23704 (56,69391238)
    y=903.544,3203

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