Mathematik

Exponentieller Zerfall: Definition und Funktion

In der Mathematik beschreibt der exponentielle Zerfall den Prozess der Reduzierung eines Betrags um einen konsistenten Prozentsatz über einen bestimmten Zeitraum. Es kann durch die Formel y=a (1-b) ausgedrückt werden, wobei y die Endmenge ist, a die ursprüngliche Menge ist, b der Abklingfaktor ist und x die verstrichene Zeit ist.

Die Formel für den exponentiellen Zerfall ist in einer Vielzahl von Anwendungen in der Praxis nützlich, insbesondere zur Verfolgung von Inventar, das regelmäßig in derselben Menge verwendet wird (z. B. Lebensmittel für eine Schulcafeteria), und besonders nützlich, um die langfristigen Kosten schnell einschätzen zu können der Verwendung eines Produkts im Laufe der Zeit.

Der exponentielle Zerfall unterscheidet sich vom  linearen Zerfall  darin, dass der Zerfallsfaktor von einem Prozentsatz der ursprünglichen Menge abhängt. Dies bedeutet, dass sich die tatsächliche Zahl, um die die ursprüngliche Menge verringert werden könnte, im Laufe der Zeit ändert, während eine lineare Funktion die ursprüngliche Zahl jeweils um den gleichen Betrag verringert Zeit.

Es ist auch das Gegenteil von exponentiellem Wachstum. das typischerweise an den Aktienmärkten auftritt, an denen der Wert eines Unternehmens im Laufe der Zeit exponentiell wächst, bevor es ein Plateau erreicht. Sie können die Unterschiede zwischen exponentiellem Wachstum und Zerfall vergleichen und gegenüberstellen, aber es ist ziemlich einfach: Einer erhöht die ursprüngliche Menge und der andere verringert sie.

 

Elemente einer exponentiellen Zerfallsformel

Zu Beginn ist es wichtig, die exponentielle Zerfallsformel zu erkennen und jedes ihrer Elemente identifizieren zu können:

y=a (1-b) x

Um die Nützlichkeit der Zerfallsformel richtig zu verstehen, ist es wichtig zu verstehen, wie jeder der Faktoren definiert ist, beginnend mit dem Ausdruck „Zerfallsfaktor“ – dargestellt durch den Buchstaben b  in der exponentiellen Zerfallsformel – der ein Prozentsatz von ist wobei der ursprüngliche Betrag jedes Mal abnimmt.

Die ursprüngliche Menge hier – dargestellt durch den Buchstaben in der Formel – ist die Menge vor dem Zerfall. Wenn Sie also praktisch darüber nachdenken, ist die ursprüngliche Menge die Menge an Äpfeln, die eine Bäckerei kauft, und die Exponentialmenge Faktor wäre der Prozentsatz der Äpfel, die jede Stunde zur Herstellung von Kuchen verwendet werden.

Der Exponent, der im Fall eines exponentiellen Zerfalls immer die Zeit ist und durch den Buchstaben x ausgedrückt wird, gibt an, wie oft der Zerfall auftritt, und wird normalerweise in Sekunden, Minuten, Stunden, Tagen oder Jahren ausgedrückt.

 

Ein Beispiel für einen exponentiellen Zerfall

Verwenden Sie das folgende Beispiel, um das Konzept des exponentiellen Zerfalls in einem realen Szenario zu verstehen:

Am Montag bedient die Cafeteria von Ledwith 5.000 Kunden, aber am Dienstagmorgen berichten die lokalen Nachrichten, dass das Restaurant die Gesundheitsinspektion nicht besteht und – yikes! – Verletzungen im Zusammenhang mit der Schädlingsbekämpfung aufweist. Dienstag bedient die Cafeteria 2.500 Kunden. Mittwoch bedient die Cafeteria nur 1.250 Kunden. Am Donnerstag bedient die Cafeteria nur 625 Kunden.

Wie Sie sehen, ging die Anzahl der Kunden täglich um 50 Prozent zurück. Diese Art der Abnahme unterscheidet sich von einer linearen Funktion. In einer linearen Funktion würde die Anzahl der Kunden jeden Tag um den gleichen Betrag sinken. Der ursprüngliche Betrag ( a ) wäre 5.000, der Abklingfaktor ( b ) wäre daher 0,5 (50 Prozent als Dezimalzahl geschrieben) und der Wert der Zeit ( x ) würde durch die Anzahl der Tage bestimmt, die Ledwith wünscht um die Ergebnisse für vorherzusagen.

Wenn Ledwith fragen würde, wie viele Kunden er in fünf Tagen verlieren würde, wenn sich der Trend fortsetzt, könnte sein Buchhalter die Lösung finden, indem er alle oben genannten Zahlen in die Exponentialzerfallsformel einfügt, um Folgendes zu erhalten:

y=5000 (1 – 0,5) 5

Die Lösung ergibt 312 und eine halbe, aber da Sie keinen halben Kunden haben können, würde der Buchhalter die Zahl auf 313 aufrunden und in der Lage sein zu sagen, dass Ledwith in fünf Tagen weitere 313 Kunden verlieren könnte!

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