Mathematik

Erwarteter Wert einer Binomialverteilung

Binomialverteilungen sind eine wichtige Klasse diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Diese Arten von Verteilungen sind eine Reihe von n unabhängigen Bernoulli-Versuchen, von denen jeder eine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit p aufweist . Wie bei jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung möchten wir wissen, was ihr Mittelwert oder Zentrum ist. Dafür fragen wir wirklich: „Was ist der erwartete Wert der Binomialverteilung?“

 

Intuition vs. Beweis

Wenn wir sorgfältig über eine denken Binomialverteilung. ist es nicht schwierig , zu bestimmen , dass der erwartete Wert dieser Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung ist np. Beachten Sie für einige kurze Beispiele Folgendes:

  • Wenn wir 100 Münzen werfen und X die Anzahl der Köpfe ist, beträgt der erwartete Wert von X 50=(1/2) 100.
  • Wenn wir einen Multiple-Choice-Test mit 20 Fragen durchführen und jede Frage vier Auswahlmöglichkeiten hat (von denen nur eine richtig ist), würde eine zufällige Schätzung bedeuten, dass wir nur erwarten würden, dass (1/4) 20=5 Fragen richtig sind.

In diesen beiden Beispielen sehen wir, dass  E [X]=np . Zwei Fälle reichen kaum aus, um zu einer Schlussfolgerung zu gelangen. Obwohl Intuition ein gutes Werkzeug ist, um uns zu führen, reicht es nicht aus, ein mathematisches Argument zu bilden und zu beweisen, dass etwas wahr ist. Wie beweisen wir definitiv, dass der erwartete Wert dieser Verteilung tatsächlich np ist ?

Aus der Definition des erwarteten Wertes und der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für die Binomialverteilung von n Versuchen der Erfolgswahrscheinlichkeit p können wir zeigen, dass unsere Intuition mit den Früchten der mathematischen Strenge übereinstimmt. Wir müssen bei unserer Arbeit etwas vorsichtig sein und bei unseren Manipulationen des Binomialkoeffizienten, der durch die Formel für Kombinationen gegeben ist, flink sein.

Wir beginnen mit der Formel:

E [X]=Σ x=0 n x C (n, x) p x (1-p) n – x .

Da jeder Term der Summation mit x multipliziert wird , ist der Wert des Terms, der x=0 entspricht , 0, und wir können tatsächlich schreiben:

E [X]=Σ x=1 n x C (n, x) p x (1 – p) n – x .

Durch Manipulieren der am Ausdruck für C (n, x) beteiligten Fakultäten können wir umschreiben

x C (n, x)=n C (n – 1, x – 1).

Dies ist wahr, weil:

x C (n, x)=xn! / (x! (n – x)!)=n! / ((x – 1)! (n – x)!)=n (n – 1)! / (( x – 1)! ((n – 1) – (x – 1))!)=n C (n – 1, x – 1).

Es folgt dem:

E [X]=Σ x=1 n n C (n – 1, x – 1) p x (1 – p) n – x .

Wir rechnen das n und ein p aus dem obigen Ausdruck heraus:

E [X]=np ≤ x=1 n C (n – 1, x – 1) p x – 1 (1 – p) (n – 1) – (x – 1) .

Eine Änderung der Variablen r=x – 1 ergibt:

E [X]=np Σ r=0 n – 1 C (n – 1, r) p r (1 – p) (n – 1) – r .

Durch die Binomialformel (x + y) kr=0 k C (k, r) x r y k – r kann die obige Summation umgeschrieben werden:

E [X]=(np) (p + (1 – p)) n – 1=np.

Das obige Argument hat uns weit gebracht. Von Anfang an haben wir mit der Definition des Erwartungswerts und der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für eine Binomialverteilung bewiesen, was unsere Intuition uns gesagt hat. Der erwartete Wert der Binomialverteilung B (n, p) ist np .

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