Mathematik

Berechnen Sie den erwarteten Wert beim Roulette

Das Konzept des erwarteten Werts kann verwendet werden, um das Casino-Roulette-Spiel zu analysieren. Wir können diese Idee anhand der Wahrscheinlichkeit verwenden, um zu bestimmen, wie viel Geld wir auf lange Sicht durch Roulette verlieren werden.

 

Hintergrund

Ein Roulette-Rad in den USA enthält 38 gleich große Räume. Das Rad wird gedreht und ein Ball landet zufällig in einem dieser Räume. Zwei Leerzeichen sind grün und haben die Nummern 0 und 00. Die anderen Felder sind von 1 bis 36 nummeriert. Die Hälfte dieser verbleibenden Felder ist rot und die Hälfte schwarz. Es können verschiedene Einsätze gemacht werden, wo der Ball landen wird. Eine übliche Wette besteht darin, eine Farbe wie Rot zu wählen und darauf zu wetten, dass der Ball auf einem der 18 roten Felder landet.

 

Wahrscheinlichkeiten für Roulette

Da die Felder gleich groß sind, ist es gleich wahrscheinlich, dass der Ball in einem der Felder landet. Dies bedeutet, dass ein Roulette-Rad eine gleichmäßige Wahrscheinlichkeitsverteilung aufweist. Die Wahrscheinlichkeiten, die wir benötigen, um unseren erwarteten Wert zu berechnen, sind wie folgt:

  • Es gibt insgesamt 38 Felder, und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ball auf einem bestimmten Feld landet, beträgt 1/38.
  • Es gibt 18 rote Leerzeichen, und daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Rot auftritt, 18/38.
  • Es gibt 20 Felder, die schwarz oder grün sind, und daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Rot nicht auftritt, 20/38.

 

Zufällige Variable

Der Nettogewinn bei einem Roulette-Einsatz kann als diskrete Zufallsvariable betrachtet werden. Wenn wir 1 $ auf Rot setzen und Rot auftritt, gewinnen wir unseren Dollar zurück und einen weiteren Dollar. Dies führt zu einem Nettogewinn von 1. Wenn wir 1 $ auf Rot und Grün oder Schwarz setzen, verlieren wir den Dollar, den wir setzen. Dies führt zu einem Nettogewinn von -1.

Die Zufallsvariable X, definiert als der Nettogewinn aus Wetten auf Rot beim Roulette, nimmt den Wert 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 18/38 und den Wert -1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 20/38 an.

 

Berechnung des erwarteten Wertes

Wir verwenden die obigen Informationen mit der Formel für den erwarteten Wert. Da wir eine diskrete Zufallsvariable X für Nettogewinne haben, ist der erwartete Wert des Einsatzes von 1 $ auf Rot beim Roulette:

P (Rot) x (Wert von X für Rot) + P (Nicht Rot) x (Wert von X für Nicht Rot)=18/38 x 1 + 20/38 x (-1)=-0,053.

 

Interpretation der Ergebnisse

Es ist hilfreich, sich an die Bedeutung des erwarteten Werts zu erinnern, um die Ergebnisse dieser Berechnung zu interpretieren. Der erwartete Wert ist in hohem Maße ein Maß für das Zentrum oder den Durchschnitt. Es zeigt an, was auf lange Sicht jedes Mal passieren wird, wenn wir 1 $ auf Rot setzen.

Während wir kurzfristig mehrmals hintereinander gewinnen könnten, werden wir auf lange Sicht jedes Mal, wenn wir spielen, durchschnittlich über 5 Cent verlieren. Das Vorhandensein der 0- und 00-Felder reicht gerade aus, um dem Haus einen leichten Vorteil zu verschaffen. Dieser Vorteil ist so gering, dass es schwierig sein kann, ihn zu erkennen, aber am Ende gewinnt immer das Haus.

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