Mathematik

Erwarteter Wert für Chuck-a-Luck

Chuck-a-Luck ist ein Glücksspiel. Drei Würfel werden gewürfelt. manchmal in einem Drahtrahmen. Aufgrund dieses Rahmens wird dieses Spiel auch als Vogelkäfig bezeichnet. Dieses Spiel wird eher im Karneval als in Casinos gesehen. Aufgrund der Verwendung von zufälligen Würfeln können wir jedoch die Wahrscheinlichkeit verwenden, um dieses Spiel zu analysieren. Genauer gesagt können wir den erwarteten Wert dieses Spiels berechnen.

 

Wetten

Es gibt verschiedene Arten von Wetten, auf die man wetten kann. Wir werden nur den Einsatz mit einer einzigen Zahl berücksichtigen. Bei diesem Einsatz wählen wir einfach eine bestimmte Zahl von eins bis sechs. Dann würfeln wir. Betrachten Sie die Möglichkeiten. Alle Würfel, zwei, einer oder keiner, konnten die von uns gewählte Zahl anzeigen.

Angenommen, dieses Spiel zahlt Folgendes:

  • $ 3, wenn alle drei Würfel mit der gewählten Zahl übereinstimmen.
  • $ 2, wenn genau zwei Würfel mit der gewählten Zahl übereinstimmen.
  • $ 1, wenn genau einer der Würfel mit der gewählten Zahl übereinstimmt.

Wenn keiner der Würfel mit der gewählten Zahl übereinstimmt, müssen wir 1 $ bezahlen.

Was ist der erwartete Wert dieses Spiels? Mit anderen Worten, auf lange Sicht, wie viel würden wir durchschnittlich gewinnen oder verlieren, wenn wir dieses Spiel wiederholt spielen würden?

 

Wahrscheinlichkeiten

Um den erwarteten Wert dieses Spiels zu finden, müssen wir vier Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Diese Wahrscheinlichkeiten entsprechen den vier möglichen Ergebnissen. Wir stellen fest, dass jeder Würfel unabhängig von den anderen ist. Aufgrund dieser Unabhängigkeit verwenden wir die Multiplikationsregel. Dies hilft uns bei der Bestimmung der Anzahl der Ergebnisse.

Wir gehen auch davon aus, dass die Würfel fair sind. Jede der sechs Seiten auf jedem der drei Würfel wird gleich wahrscheinlich gewürfelt.

Es gibt 6 x 6 x 6=216 mögliche Ergebnisse beim Werfen dieser drei Würfel. Diese Zahl ist der Nenner für alle unsere Wahrscheinlichkeiten.

Es gibt eine Möglichkeit, alle drei Würfel mit der gewählten Zahl abzugleichen.

Es gibt fünf Möglichkeiten, wie ein einzelner Würfel nicht mit unserer gewählten Zahl übereinstimmt. Dies bedeutet, dass es 5 x 5 x 5=125 Möglichkeiten gibt, dass keiner unserer Würfel mit der gewählten Zahl übereinstimmt.

Wenn wir genau zwei der passenden Würfel betrachten, haben wir einen Würfel, der nicht übereinstimmt.

  • Es gibt 1 x 1 x 5=5 Möglichkeiten, wie die ersten beiden Würfel unserer Zahl entsprechen und der dritte unterschiedlich ist.
  • Es gibt 1 x 5 x 1=5 Möglichkeiten, wie der erste und der dritte Würfel übereinstimmen, wobei der zweite unterschiedlich ist.
  • Es gibt 5 x 1 x 1=5 Möglichkeiten, wie sich der erste Würfel unterscheidet und der zweite und dritte übereinstimmen.

Dies bedeutet, dass es insgesamt 15 Möglichkeiten gibt, genau zwei Würfel zusammenzubringen.

Wir haben jetzt die Anzahl der Möglichkeiten berechnet, um alle bis auf eines unserer Ergebnisse zu erzielen. Es sind 216 Rollen möglich. Wir haben 1 + 15 + 125=141 von ihnen berücksichtigt. Dies bedeutet, dass noch 216 -141=75 übrig sind.

Wir sammeln alle oben genannten Informationen und sehen:

  • Die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Zahl mit allen drei Würfeln übereinstimmt, beträgt 1/216.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Zahl genau zwei Würfeln entspricht, beträgt 15/216.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Zahl genau einem Würfel entspricht, beträgt 75/216.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Zahl mit keinem der Würfel übereinstimmt, beträgt 125/216.

 

Erwarteter Wert

Wir sind jetzt bereit, den erwarteten Wert dieser Situation zu berechnen . Die Formel für den erwarteten Wert erfordert, dass wir die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses mit dem Nettogewinn oder -verlust multiplizieren, wenn das Ereignis eintritt. Wir addieren dann alle diese Produkte zusammen.

Die Berechnung des erwarteten Wertes ist wie folgt:

(3) (1/216) + (2) (15/216) + (1) (75/216) + (- 1) (125/216)=3/216 +30/216 +75/216-125 / 216=-17/216

Dies ist ungefähr – $ 0,08. Die Interpretation ist, dass wir, wenn wir dieses Spiel wiederholt spielen würden, jedes Mal, wenn wir spielen, durchschnittlich 8 Cent verlieren würden.

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